Frage von lukasstmhltr, 27

Wieso ist für eine orthogonoale Matrix A, λ immer λ=1 oder λ=-1 wenn es ein reeller Eigenwert ist?

Guten Tag,

Wir haben heute in der Vorlesung besprochen, dass der reelle Eigenwert λ einer orthogonalen Matrix A immer λ=1 oder λ= -1 ist.

Beim Betrachten leuchtet mir das schon ein, aber wie kann man das beweisen? Ich finde in meinem Skript dazu nichts und wäre in der Herleitung interessiert.

Vielen Dank für die Hilfe!

Antwort
von isbowhten, 13

nehmen wir mal an, es ist bekannt, dass A aus einem orthonormalsystem von spalten besteht, und man hätte in endlichen raumdimensionen den satz des pythagoras bewiesen.  (per induktion)

dann ist Ax eine linearkombination des orthonormalsystems mit koeffizienten x1,...,xn, welche die koordinaten von x bezeichnen. nun ist die länge eines jeden summanden dieser linearkombination gleich x-koordinate * 1. damit ist die gesamtlänge aber gerade nach pythagoras:

wurzel((x1 * 1)^2+...+(xn * 1)^2) =|x|

wann immer also ein eigenwert existiert, also Ax=lambda x gilt, muss auch gelten:

|x|=|Ax|=|lambda| |x|.

also ist lambda=+/- 1

das ist bestimmt nicht der schönste beweis und benötigt ein wenig vorkenntnisse. das ist aber dennoch der einfachste, der mir spontan einfiel. vielleicht weiß ja wer anders noch einen schöneren!

bemerkung: ich habe nur gezeigt, dass |lambda|=1 sein muss, aber nicht, dass es überhaupt eigenwerte geben muss!

Antwort
von YStoll, 15

Es gibt unzählige Matrizen, die reelle Eigenwerte haben, die weder -1 noch 1 sind.

Oder soll für deine Matrix A gelten, dass es ein n € |N mit A^n=A gibt?

Dann müssten alle Eigenwerte auf dem Einheitskreis liegen, also den Betrag 1 haben (das lässt sich jedoch noch genauer einschränken, tatsächlich kommen nur ein unendlich kleiner Teil der Zahlen auf dem Einheitskreis in Frage, nämlich solche mit rationalem Argument. Denn es muss für alle Eigenwerte gelten, dass λ^(n-1) = 1 ).

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 8

Stichwort: Determinantenproduktsatz.

Kommentar von PWolff ,

Sorry, funktioniert so nicht so einfach.

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