Frage von jaysiboo, 61

Wieso ist das vollständigkeitsaxiom und die supremumseigenschaft von R äquivalent?

Antwort
von snuggles70, 34

Jede nichtleere nach unten beschränkte Menge reeller Zahlen besitzt ein Infimum. Jede nichtleere nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.

Dies ist äquivalent, denn das Komplement ist eine nach unten beschränkte Menge und das Infimum dieser Menge fällt genau mit dem Supremum zusammen.

Kommentar von jaysiboo ,

Also das komplement vom vollständigkeitsaxiom??

Antwort
von gigrais, 42

Was ist genau die Supremumeigenschaft von R?

Kommentar von jaysiboo ,

Die Eigenschaft besagt, dass jede nichtleere und nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen eine kleinste obere Schranke, ein Supremum, besitzt.

Kommentar von gigrais ,

Na ja betrachte eine nach unten beschränkte nicht leere Menge,aus Vollst.axiom folgt es gibt ein Infimum. Nun nimm das Komplement dieser Menge, zufälligerweise stimmt dein Inf. mit dem Supremum überein (natürlich muss die Gleichheit gezeigt werden). 

Rückrichtung analog.

Kommentar von jaysiboo ,

Also muss ich es anhand von Beispielen zeigen?? Und wie weiß ich ob eine Menge nach oben oder nach unten beschränkt ist?

Kommentar von gigrais ,

Kannst du, aber dann muss du halt alle Beispiele aufzählen und davon gibt es schon viele. Ich würde allgemeiner machen und einfach eine beliebige nicht leere nach unten beschr.Menge nehmen.

Nach unten beschränkt heißt dass alle elemente grösser gleich der unteren Schranke (einer Zahl) sind.

Kommentar von jaysiboo ,

Hey.. auf meinem Aufgabenblatt steht dass ich anhand der Intervallschaltung die Äquivalenz zeigen soll, indem ich irgendwie zeigen soll dass [a;b] a kleiner gleich b a=b wird :/ könntest du mir da weiterhelfen ?

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