Frage von JTR666, 100

Wieso ist das (k)ein Widerspruch?

Hey Leute!

Ich habe mal eine Frage zur Zetafunktion, und zwar:

Die Summe aus allen natürlichen Zahlen ist ja (logischerweise) unendlich. Aber zeta(-1) ist -1/12, obwohl beides ja die selbe Rechnung ist. Wieso? Ist das einfach nur falsch, weil man sich getrost darauf verlassen kann, dass die Zetafunktion für s größer oder gleich 1 nicht definiert ist, oder ist dieser augenscheinliche Widerspruch doch richtig? Wenn ja, wieso?

Danke schon mal für Eure Antworten! JTR

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 34

Also:

Wir definieren uns für ein variables s die Dirichletreihe über 1/k^s und nennen das Zeta(s). Vorerst bewegen wir uns nur in den reellen Zahlen und sehen, dass die Reihe per Integraltest genau dann konvergiert, wenn s > 1.

Jetzt kommt die komplexe An alysis ins Spiel. Es gibt Sätze, die uns sagen, dass wir für diese Funktion eine an alytische Fotsetzung finden können, das ist eine an alytische Funktion, die in jedem Punkt unseres Ausgangsdefinitionsbereiches mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt und einen großeren Definitionsbereich hat als unsere ursprüngliche Funktion.

Diese Funktion nennen wir Z(x) und sehen, dass für reelle s > 1 gilt: Z(s) = Zeta(s). Bedenke, dass Z(x) nichts mehr mit der Dirichletreihe von Zeta(s) zu tun hat, diese Definition wird sozusagen "vergessen".

Wenn wir Z(-1) betrachten, kommen wir durch Herumrechnerei und Hirnschmalz auf das Ergebnis Z(-1) = -1/12 und dieses Ergebnis ist sowohl wohldefiniert als auch richtig und ohne Zweifel schön, aber bemerke, dass Z(-1) nichts mehr mit der "Dirichletreihe" "1 + 2 + 3 + ..." zu tun hat (zumindest formell, die Physiker werden uns hier auch einen Strich durch die Rechnung machen).

Dein Einwand, dass es eine Herumspielerei mit Definitionen ist, da Zeta(s) nur für s > 1 definiert ist, ist einfach nur falsch, da Z(s) für alle komplexen x außer x = 1 definiert ist. Durch Manipulation der Reihe "1 + 2 + 3 + ..." durch schlaue Umformungen kommt man herrlicherweise auch auf das Ergebnis -1/12, hier einige Kommentare, die dir das Ganze etwas klarer machen sollten:

  1. -1/12 ist nicht der "Grenzwert" dieser Reihe sondern ihr "Wert". Wir nennen es wirklich einmal "Wert" der Reihe und nicht "Grenzwert", da wir 1 + 2 + 3 + ... = x sagen [x ein endlicher Wert] und durch Umformungen kommen wir auf x = -1/12. Wieso nicht prüfen, ob es auch der Grenzwert unserer Reihe ist? Machen wir das einfach mal. Wir haben also x = lim n->(unendlich) 1 + 2 + ... + n und kommen hier unweigerlich auf x = unendlich, egal wie wir umformen. Wo liegt das Problem? In der Definition des Grenzwertes! Wenn wir unsere unendliche Reihe manipulieren, können wir immer Werte vertauschen und nutzen, dass wir unendlich viele zusammenpacken und verschieben können und kommen so auf unser Ergebnis. Wenn wir lim n->(unendlich) 1 + 2 + ... + n betrachten, betrachten wir nie wirklich die Reihe 1 + 2 + ... sondern die Summe 1 + 2 + ... + n für beliebig großes n und schauen uns mit unseren bekannten Konvergenzkriterien an, welchen Grenzwert diese Reihe annehmen kann. Nach dem Cauchykriterium wissen wir direkt: keinen endlichen und auch keinen negativen, also +unendlich. Hier ist der Unterschied: Der "Wert" ist nicht der "Grenzwert"! Die Physiker kommen jetzt an und sagen, dass der "Wert" in manchem Kontext Sinn macht, dagegen spricht auch nichts, aber es ist eben nicht der "Grenzwert". Zu schreiben 1 + 2 + ... = -1/12 ist also zweideutig, es ist zugleich richtig und falsch, jenachdem wie du dieses Ergebnis verwendest.
  2. Der Kern der Rechnung ist, dass mit der Anfangsgleichung 1 + 2 + ... = x angefangen wird. Hier wird prinzipiell die Aussage gemacht: "Wenn die Reihe einen endlichen Wert hat, dann nennen wir ihn x und wir bekommen x = -1/12" Also "Wenn es einen Wert gibt, dann muss er -1/12 sein". Aber wer sagt, dass es ihn gibt? Ich kann mich fragen "Wenn es zwei komplett identische Bill Gates' gibt, welcher von beiden ist der reichste Mann der Welt?", das Ergebnis meiner Ausarbeitung wird irrelevant sein, da die Prämisse nie erfüllt sein wird, es kann keine zwei komplett identische Bill Gates' geben mit gleichem Leben, gleicher Genetik, gleichem Verhalten..
  3. Wo ist der Widerspruch? Ich durfte mich schon mit meinem An alysisprofessor herumquälen, der umglaublich gerne das Prinzip "Ex falso quodlibet" verwendet hat: Aus Falschem folgt Beliebiges. Bedeutet auf Plattdeutsch, dass du aus einer falschen Aussage ("dem" Widerspruch) alles beweisen kannst, unser ganzes Logiksystem würde also zusammenbrechen. Das Ergebnis Z(-1) = -1/12 ist aber sehr schlüssig, funktioniert und stimmt mit unseren Notationen überein. Egal wie "falsch" ein Ergebnis für einen Menschen und seine Intuition wirken mag, wenn es funktioniert, ist es richtig!

LG

Anmerkung: Mein Gott es kann doch nicht sein, dass immernoch kein einziger Beitrag zum Thema An Alysis gemacht werden kann für einen normalen User, ohne dass die Hölle auf einen in Form eines kindlichen Schimpfwortfilters hereinbricht?!

Kommentar von JTR666 ,

Danke für die Antwort!

Aber man darf hier echt vielen Leuten nicht mit höherer Mathematik kommen, ohne eins übergebraten zu kriegen...

Kommentar von Roach5 ,

Ja, dieses Problem hat der "populär-hohe" Bereich der Mathematik:

Wenn du hier Mathefragen stellst, die auf dem Niveau von Abitur oder niedriger sind, bekommst du von vielen Menschen viele Antworten und diese sind meist richtig, weil die Fragen nicht so schwer waren.

Wenn du hier Mathefragen stellst, die auf Studienniveau einer Naturwissenschaft oder im besten Fall Mathematik stellst, sinkt natürlich die Anzahl an Menschen mit der passenden Antwort, aber vor allem in der Mathematik bekommst du auch hier von den Leuten entweder keine Antwort oder die richtige, also wenige Antworten, aber diese meist auch richtig.

Wenn wir jetzt Probleme der höheren Mathematik haben, die aber vielen Leuten geläufig sind, wie z.B. durch Youtubechannel, Dokumentationen, Fernsehserien, was auch immer, wirst du auf wundersame Weise auf viele Antworten stoßen. Das liegt daran, dass die Frage zur Kategorie "Fragen auf Studienniveau" von oben passt, du solltest also nur wenige Antworten erwarten, die Frage ist aber durch die oben genannten Faktoren durchaus mehr Leuten bekannt als denen, die Ahnung von dem Gebiet haben. Da hier jede Person fragen beantworten darf, wird auch fast jede Person ihren Senf dazugeben, egal ob die Kenntnis vom Thema nicht vorhanden, rudimentär oder sehr gut ist. Bei dieser Frage muss ich die Fragebeantworter verteidigen, hier hat sich jeder mit dem Thema auseinandergesetzt, es ist halt schwer solche Prinzipien von Anfang an in Textform zu erklären. Viel stärker merkt man das in Fragen, die hier immer wieder auftauchen von der "populär-hohen" Mathematik, vor allem bezüglich unendlichen Mächtigkeiten von Mengen, da wird sich regelmäßig in den Antworten beleidigt und dann kommen Leute und sagen "ist doch offensichtlich" und geben die falsche Antwort, und immer ist irgendein Möchtegernphilosoph dabei und sagt "alle Mathematiker lügen, denn meine unüberlegte Antwort ist viel besser als das was sich Dutzende Genies über mehrere Hundert Jahre erarbeitet haben".

LG

Kommentar von Physikus137 ,

Talking about youtube.

Zum Thema Wert von divergenten Reihen (hinsichtlich der Verwendung und Nützlichkeit in der Physik) gibt es eine nette Vorlesungsreihe von Prof. Carl Bender 

http://youtu.be/LYNOGk3ZjFM

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 42

Diese Webseite erklärt das recht gut -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche\_%CE%B6-Funktion

Zitat -->

Man hätte dann .... was ganz offensichtlich keinen endlichen Grenzwert besitzt. Daher ist der Definitionsbereich der Dirichlet-Reihe auf die um 1 verschobene rechte Hälfte der komplexen Zahlenebene, also auf alle , ....
beschränkt; somit kann die Dirichlet-Reihe auch nur in diesem
Zahlenbereich für eine Berechnung der Zeta-Funktion herangezogen werden.

Um die riemannsche Zeta-Funktion für alle Zahlen der komplexen
Zahlenebene (mit Ausnahme der Zahl 1) berechnen zu können, bedient man sich des Konzepts der analytischen Fortsetzung.
Eine analytische Fortsetzung stellt anschaulich einen alternativen
Ausdruck für eine Funktion bereit, der den Definitionsbereich des
ursprünglichen Ausdrucks auf eindeutige Weise erweitert.

Beispiele für analytische Fortsetzungen befinden sich im Abschnitt Andere Ausdrücke für die Zeta-Funktion.


und in diesem Abschnitt "Andere Ausdrücke für die Zeta-Funktion" findest du dann die entsprechenden Reihen für andere Zahlenbereiche, ob das schon alle Reihenentwicklungen sind, die es gibt, kann ich dir aber nicht sagen.

Fazit -->

Es werden also unterschiedliche Reihen für unterschiedliche Zahlenbereiche benutzt, nur eine einzige Reihe für alles gibt es scheinbar nicht.

Kommentar von JTR666 ,

Ja gut, aber wenn s gleich (-1) ist, bewegst du dich im Körper der reellen Zahlen und nicht im Komplexen. Klar sind die reellen Zahlen nur eine Teilmenge aus der gesamten komplexen Ebene, aber dennoch ist es ja immer die selbe Rechnung, weswegen du immer das selbe Ergebnis erhalten müsstest.
5^(2) als Beispiel ist ja auch im komplexen immer noch 25 + 0i = 25.

Kommentar von DepravedGirl ,

Hast du denn die richtige Reihe, die man braucht um die Zeta - Funktion in diesem Bereich zu berechnen, bereits finden können ?

Kommentar von JTR666 ,

Also zeta(s) ist nur für s > 1 definiert.
Aber Euler hat mal gesagt (weiß jetzt jedoch nicht mehr genau wo ich das her habe), dass zeta(-1) = -1/12 ist. Wenn du bei www.wolframalpha.com zeta(-1) eingibst, erhältst du als Lösung auch -1/12.
Aber zeta(-1) = 1 + 2 + 3 + ...
Das ist die Summe aller natürlichen Zahlen.
Und wenn du dich im komplexen bewegst, hast du ja s = (-1) + 0i = (-1), was dich wieder auf 1+2+3... bringt.
Somit hast du immer noch das selbe Problem, jedoch beschreibst du es in einem anderen Körper.
Ob du mir jetzt auf Englisch oder auf Deutsch sagst wie deine Wohnung aussieht, ändert ja nichts an deren Aussehen.

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, aber auf irgendeine Art und Weise muss Wolfram Alpha das ja berechnen, dass das richtige Ergebnis erzielt wird.

Kommentar von JTR666 ,

Das ist ja eben der Grund für meine Frage!

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, falls ich den Algorithmus finden sollte, dann werde ich dir Bescheid sagen.

Antwort
von dongodongo, 9

Ich kann Roach5's Antwot nur wenig hinzufügen.

Die übliche Definition der Zeta-Funktion geht über die Dirichlet'sche Reihe,

zeta(s):=sum_{k=1}^{unendlich}k^(-s), s>1 (s reell)

Es gibt in der Funktionentheorie nun Sätze,die es ermöglichen, Funktionen eines reellen Argumentes analytisch in die komplexe Ebene fortzsetzen (abzüglich Polstellen). Missbrauch der Notation verwendend, haben wir also eine Funktion zeta(z) in C. Dann passiert irgendeine mathematische Subtilität, die meines Wissens nach auf Ramanujan zurückgeht, und die Bestimmung von zeta(z) bei z =-1 erlaubt. Ramanujan fand, dass zeta(-1)=-1/12.

Wird nun die Darstellung in der Form der Dirichlet'schen Reihen verwendet (Heuristisch, warum - im rigorosen Sinne - das geht, bedarf noch einer Begründung), dann folgt,

1+2+3+...=-1/12=zeta(-1).

Das verwendet man in der Physik gerne bei der Zeta-Regularisierung (z.B. String-Theorie, ohne mehr ins Detail zu gehen.).

VG,

dongodongo

Kommentar von JTR666 ,

Aber Ramanujan jongliert mit den Gliedern der unendlichen Reihen herum als wären es finite Reihen. Das darf man nach den Riemannschen Vertauschungssätzen aber nicht!

Kommentar von dongodongo ,

Frage 1:Ist das der einzige Vertauschungssatz,bzw., sind überhaupt alle Voraussetzungen für dessen Anwendbarkeit erfüllt und was bitte besagt der genau?

Ramanujan hatte das Ergebnis gefunden und bewiesen. Der Beweis basiert auf analytischer Fortsetzung... Die Dirichlet'sche Reihe ist eine Reihendarstellung der Zeta-Funktion (unter bestimmten Annahmen), die Zeta-Funktion selber kann aber allgemeiner definiert werden. Das Ergebnis zeta(-1)=-1/12 ist ein formales Resultat (Warum?).

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Physik, 36

Diese Summendarstellung der Zeta-Funktion gilt nur in ihrem Konvergenzbereich.

Für den Rest der komplexen Ebene definiert man die Zetafunktion über die holomorphe bzw. meromorphe Fortsetzung der von dieser Reihe festgelegten Funktion.

Kommentar von JTR666 ,

Dann hat sich Euler also vertan?

Kommentar von PWolff ,

Wieso sollte er? Was genau hat er gesagt?

Kommentar von JTR666 ,

Der hat gesagt, dass Zeta(-1) = -1/12 ist, also er hat damit "bewiesen", dass die Summe aus allen natürlichen Zaheln -1/12 ist, was ja ganz offensichtlich nicht der Fall ist.

Kommentar von PWolff ,

LIes mal den von DepravedGirl verlinkten Wikipedia-Artikel zur Riemannschen Zeta-Funktion, insbesondere dort, wo der Name Ramanujan erwähnt wird.

Und beschäftige dich mal mit Laurent-Reihen.

Wenn du die Laurent-Reihen und ihre Konvergenzbereiche verstanden hast und dann immer noch behauptest, ζ(-1) sei in einem anderen als einem formalen Sinn die Summe aller natürlichen Zahlen, melde dich wieder.

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