Frage von schimmelmund, 59

Wieso ist das Argument von Z0 = 3/4 *Pi?

Die Aufgabe lautet:

Z0 = -a + ai, a > 0

Mit a meine ich Alpha.

Mein Betrag ist jedenfalls Wurzel 2 * a.

Wie berechne ich denn jetzt hier das Argument? Laut Lösung ist das Argument 3/4 * Pi.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Melvissimo, 36

Wenn du den Vektor z = x + yi in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnest, ist das Argument der Winkel, den der Vektor mit der (positiven) reellen Achse einschließt. 

Nun bildet der Vektor z zusammen mit dem Koordinatenursprung sowie seiner Projektion auf die reelle Achse ein rechtwinkliges Dreieck (um das nachzuvollziehen, solltest du auf jeden Fall mal ein Beispiel aufmalen!). 

Da die beiden Katheten des Dreiecks gerade durch x und y gegeben sind, lässt sich der Winkel mithilfe der Trigonometrie ermitteln:

arg(z) = arctan(y / x).

In deinem Fall gilt dann halt arg(Z0) = arctan(a / (-a)) = arctan(-1) = 3/4 * Pi.

Kommentar von schimmelmund ,

Der arctan von -1 ist aber nicht 3/4Pi

Kommentar von Melvissimo ,

Dein Taschenrechner sagt dir Wahrscheinlich, dass arctan(-1) gerade -1/4 pi ist (oder evtl auch -45, wenn dein TR aufs Gradmaß eingestellt ist). Aber arctan(x) ist für jedes x nur bis auf Vielfache von Pi (bzw 180°) genau. D.h. sowohl tan(-1/4pi) als auch tan(3/4pi) haben den Wert 1.

Kommentar von schimmelmund ,

Eben herausgefunden weshalb. Befinde mich ja im 2ten Quadranten und das weiß der Taschenrechner nicht. Daher korrigieren mit + Pi bzw. 180°

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