Frage von bishare, 123

Wieso ist 0! = 1?

Die Formel lautet ja n! = n* (n-1) * (n-2)...

Muss da nicht 0 rauskommen oder wird es anders gelöst?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Comment0815, 54

Wenn du einigermaßen fit in Englisch bist:

Kommentar von Comment0815 ,

Danke für den Stern. Es freut mich, dass Numberphile dir helfen konnte. ;-)

Antwort
von Roderic, 54

Dies wird per Definition so festgelegt, damit alle Formeln, die die Fakultät verwenden, möglichst konsistent sind. zB die Binomischen.

In vielen Reihenentwicklungen und Kettenbrüchen steht eine Fakultät als Faktor vor den einzelnen Gliedern.

Durch Festlegen von 0!=1 kann man als Wertebereich für die Parameter einfach N festlegen und muss keine weitere Einschränkung machen.

Rein rechnerisch gesehen ist 0! keine sinnvolle Operation.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 49

Alle diese Terme sind meist nicht sehr leicht verständlich. Es sind ja auch nur Definitionen, die helfen sollen, bei allgemeinen Darstellungen Widersprüche zu vermeiden. Man sagt dann, sie seien wohldefiniert.

Gälte x^0 = 1 und auch 0! = 1 nicht, bekämen wir ganz schnell Schwierigkeiten beim Potenzieren oder bei Binomialkoeffizienten.

Was sollte zum Beispiel bei       x^n/x^n = x^(n-n) = x^0
anderes herauskommen als 1?

Man fährt am sichersten, wenn leere Summen als 0 und leere Produkte als 1 auftreten.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 13

Deine Formel ist nur ein Sonderfall für ganze positive Zahlen.

Viel universeller ist jedoch:

x! = Gamma(x+1)

was man sogar mit negativen (-0.5; aber nicht mehr ganzen Argumenten, denn das sind Polstellen) und komplexen Zahlen {0.3-1.5i} berechnen kann (Stirlingsche Näherungsformel mit Bernoulli-Zahlen kann beliebig genau...)

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

siehe Bild


Für die Schule reicht einfach die Umstellung:
n! = (n + 1)! / (n + 1) 

0!= 1!/1=1/1  fertig



Antwort
von LC2015, 66

Deine Formel ist falsch. Sie lautet nämlich korrekt

n! = n * (n-1) * ... * 1.

D.h. es geht nur runter bis 1, sonst wäre n! ja auch immer 0.

Das lässt sich auch schöner Schreiben als Produkt:

n! = Produkt von i=1 bis n (i)

Wenn du ein Produkt von i=1 bis 0 bildest, hast du das sogenannte leere Produkt. Produkte sind das Ergebnis von Multiplikationen und aus diesem Grunde definiert man das leere Produkt als das neutrale Element der Multiplikation (das ist 1), damit die Multiplikation mit dem leeren Produkt nichts am gegebenen Term ändert.

Die anschauliche Interpretation der Fakultät geht an dieser Stelle flöten, aber es ist auf diesem Wege angenehmner damit zu arbeiten.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

Das ist eine reine, willkürliche Definition, sonst gar nichts.


Kommentar von FataMorgana2010 ,

Willkürlich ist diese Defintion gerade nicht, dann hätte man ja auch willkürlich 0! = 37 setzen können. 

Aus der Definition der Fakultät folgt unmittelbar, dass 0! ein leeres Produkt ergibt. Und das leere Produkt wieder rum wird aus guten Gründen (und gar nicht willkürlich!) gleich dem neutralen Element der Multiplikation gesetzt (mit dem Ergebnis, dass man leere Produkte innerhalb einer Multiplakation einfach weglassen kann). 

Darum ist 0! = 1. 

Kommentar von DepravedGirl ,

Ah, ok, vielen Dank für deinen Hinweis !

Antwort
von Geograph, 17

Das ist so definiert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_%28Mathematik%29
"Da das leere Produkt stets 1 ist, gilt 0! = 1"

bzgl. "leeres Produkt":

https://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt

Antwort
von minemon, 62

Vermutlich aus ähnlichen Gründen wie x^0=1

Kommentar von bishare ,

x^0 = x^-1 * x = 1, das kann man ja leicht erklären

Kommentar von minemon ,

Ja, und 1!/1 = 0! => 0!=1/1=1

Das Video das Comment0815 gepostet hat erklärt es sehr gut.

Antwort
von Melvissimo, 17

Kombinatorisch: n! ist die Anzahl aller Permutationen (Umordnungen) von n unterschiedlichen Objekten. 

Z.B. kann man die Zahlen 1, 2 und 3 auf 6 unterschiedliche Arten anordnen:

(1,2,3), (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2) und (3,2,1).

Das heißt: 3! = 6.

Es gibt nur eine Möglichkeit, 0 Objekte anzuordnen, also sollte auch 0! = 1 sein. 

Rechnerisch: Für jede natürliche Zahl n > 0 gilt:

(n + 1)! = n! * (n + 1).

Denn z.B: 3! = (1 * 2) * 3 = 2! * 3

Damit sollte n! = (n + 1)! / (n + 1) gelten.

Insbesondere sollte 0! = 1! / 1 = 1 sein.

Kommentar von Franz1957 ,

Gar nichts anzuordnen ist also auch eine Anordnung. Hab ich noch gar nicht so betrachtet... :-)

Antwort
von JTR666, 24

0! = 1 ist deswegen korrekt, da nichts ebenfalls EINE mögliche Anordnung hat!

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