Frage von DerEinacheJunge, 40

wieso dieser Grenzwert?

Hallo, wieso läuft laut dem Graphen

lim x->0 : x+(1/x) gegen unendlich? In meinen rechnungen komme ich auf läuft gegen 0. Kann mir dies jemand bitte erläutern?

danke!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Schilduin, 28

Der Grenzwert existiert nicht. Wenn du dich von der positiven Seite aus mit immer kleiner werdenden x annäherst, wird 1/x immer größer und geht gegen +unendlich, von der negativen Seite aus geht es aber gegen -unendlich.

Wenn deine x aber ausschließlich positiv sein sollten, so findest du für jedes n aus N ein epsilon (nämlich epsilon=1/n) sodass epsilon+1/epsilon>n, also wäre es uneigentlich konvergent gegen +unendlich

Kommentar von DerEinacheJunge ,

Hey, tatsächlicht gilt x>0 und elemnt R. kannst du mir zeigen beweisen dass es gegen unednlcih läuft?

Antwort
von densch92, 2

Weil lim(x+1/x)=lim(x)+lim(1/x)

Etwas inkorrekt gesprochen wäre der linke Grenzwert unendlich, bzw. formal korrekt: der linke Grenzwert existiert nicht.
Der rechte Grenzwert geht zwar gegen Null, in Summe aber existiert der Gesamtgrenzwert nicht.

Von daher divergiert das ganze Teil!

Schließlich ist sozusagen unendlich+0=unendlich! ;-)

Sag das aber so niemals als Begründung sondern korrekterweise:
"x divergiert für x->unendlich und damit divergiert der Gesamtausdruck"

Sonst gibts Punktabzug in der Klausur ;-)

Antwort
von vitus64, 29

Der erste Summand geht gegen 0 und der zweite gegen Unendlich.

In der Summe geht der Grenzwert daher gegen Unendlich.

Antwort
von polygamma, 40

x strebt gegen unendlich und 1/x gegen 0. Du hast also, salopp gesprochen: unendlich + 0 = unendlich

Kommentar von DerEinacheJunge ,

Ich weiß nicht ob das als beweis gilt^^

Kommentar von polygamma ,

Nein, du hast auch nicht nach einem Beweis gefragt. Willst du einen haben?

Kommentar von DerEinacheJunge ,

Ja bitte. Ich muss das beweisen

Kommentar von polygamma ,

Tut mir leid, ich habe etwas falsch gelesen. Der Grenzwert existiert nicht. Um dies zu beweisen, betrachte den linksseitigen sowie den rechtsseitigen Grenzwert im Punkt 0 und zeige, dass sie nicht übereinstimmen.

Kommentar von DerEinacheJunge ,

und wenn gilt x >0 (element R)?

Kommentar von Zwieferl ,

Das gilt sicher als Beweis, denn lim(aₙ+bₙ)=lim(aₙ)+lim(bₙ)

Kommentar von polygamma ,

Diese Rechenregeln gelten für endliche Grenzwerte. Ich habe mich sowieso verlesen, aber wäre die Aufgabe: lim x-> unendlich (x + 1/x), dann dürfte man nicht lim x-> unendlich (x) + lim x -> unendlich (1/x) rechnen, da zwar 1/x gegen 0, also einen endlichen Grenzwert strebt, x jedoch gegen unendlich, also keinen endlichen Wert. Das richtige rausbekommen würde man zwar trotzdem, aber die Begründung wäre falsch.

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