Frage von xxShayminxx, 57

Wieso darf man einfach den Logarithmus hinzufügen/entfernen?

Hi, ich habe da folgende Aufgabe lgx²=lg144 oder log2(5x)=log2(12)

Um diese Aufgabe lösen zu können muss man einfach den Logarithmus von beiden Seiten einfach so entfernen aber wieso kann man das einfach? Die Erklärung des Buches oder des Heftes verstehe ich nicht wirklich...

Zudem noch beim Lösen von Exponentialgleichungen darf man auch einfach den Logarithmus hinzufügen, aber warum kann man das einfach so machen?

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 44

Du möchtest eine mathematische Erklärung?

Sowohl die log- als auch die exp.-Funktionen sind streng monotone Funktionen. Das bedeutet, dass zu jedem x-Wert genau ein y-Wert gehört (das gehört zur Eigenschaft einer Funktion), genauso gehört aber auch zu jedem y-Wert genau ein x-Wert.

So kann z.B. bei Deiner Gleichung log2(5x)=log2(12), bei der quasi zwei gleiche y-Werte gegeben sind, diese Gleichheit nur dann bestehen, wenn schon die x-Wert gleich waren.

Das war jetzt mathematisch vom Vokabular her vielleicht nicht ganz astrein, aber hoffentlich verständlich. :-)

Kommentar von xxShayminxx ,

Ich versteh aber immernoch nicht, weshalb man einfach das log2 entfernen kann xD

Kommentar von KDWalther ,

Dann mach ich's mal an einem anderen Beispiel:

Du hast die Gleichung √(x) = 3. Du sollst x bestimmen.
Wenn Du die Gleichung x + 5 = 9 hättest, würdest Du auf beiden Seiten -5 rechnen, da - die "Umkehroperation" zu + ist.
Also quadrierst Du bei √(x) = 3 beide Seiten der Gleichung, da das Quadrieren die Umkehroperation zum Wurzelziehen ist. Das ergibt dann: (√(x))² = 3²  oder x = 9.

Genauso verhält es sich bei log2(x) und 2^x. Das sind ebenfalls Umkehrfunktionen zueinander und heben sich sozusagen gegenseitig auf. vgl. Kommentar von ellejolka.

Antwort
von glasair, 21

Das funktioniert genau wie plus, minus, mal, Wurzel ziehen, etc, da dies Gleichungsumformungen sind.

Antwort
von iokii, 36

Wenn ln(a)=ln(b) ist, dann ist auch e^(ln(a))=e^(ln(b)) , da du ja zweimal das gleiche in die e-Funktion einsetzt. Und e^(ln(a)) ist nunmal a.

Anders gesagt : Du kannst den log weglassen, weil es eine Umkehrfunktion gibt.

Kommentar von xxShayminxx ,

Bedeutet ^ ,,hoch etwas"?

Und kannst du es ohne e^ erklären, da wir das noch nicht hatten.

Kommentar von iokii ,

Dann nimmst du halt "2 hoch" statt e^ und ersetzt den ln durch den Logarithmus zur Basis 2. Ist die gleiche Begründung.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 36

um lg wegzubekommen, macht man auf beiden Seiten 10^

und bei log2 macht man 2^

dann hebt sich der Logarithmus auf.

solange man auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe macht, ist alles in ordnung.

Kommentar von xxShayminxx ,

Könntest du es bitte anhand einer Gleichung zeigen, so überblick ich das noch nicht ganz :/

Kommentar von Ellejolka ,

log2(5x) = log2(12)

dann

2^(log2(5x)) = 2^(log2(12))

und

2^(log2(5x)) = 5x

allgemein

2^(log2(a)) = a

Kommentar von xxShayminxx ,

Also auch 2^(log2(12))= 12

Vielen Dank, habe es nun verstanden. :)

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 10

Einfach eine Proberechnung durchführen.

10^2=100 logarithmus lg(100)= 2 da ja 10^2= 100 ist,kann man ja schreiben lg(10^2)=2 und lg(100)=2

Unterschied ist halt nur 10^2 ist nicht ausgerechnet ,ist aber das selbe wie 100

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