Wieso berchechnet man das Volumen eine kugle so?

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7 Antworten

Es gibt viele Wege, das herzuleiten, aber einen Weg finde ich sehr elegant.

Benutzte Vorkenntnisse: Grundlegende Integralrechnung, Fläche eines Kreises.

Wenn wir die Fläche eines Kreises kennen (πr²), dann kennen wir auch das Volumen eines Zylinders, nämlich Grundseite mal Höhe, also πr²h.

Wir nehmen uns jetzt also einen Kreis mit Radius r und Mittelpunkt im Ursprung, die charakteristische Gleichung ist also x² + y² + z² <= r².

Wir teilen den Kreis in beliebig viele Stücke entlang der x-Achse auf und machen aus den Rändern gerade Stücke, das ganze sollte dann in etwa so aussehen: 

http://www.drcruzan.com/Images/Mathematics/VolumesOfRotation/DisksInSphere.png .

Die Dicke dieser Zylinder ist dx, dieses wird als Grenzwert beliebig klein werden (damit werden wir den Kreis annähern).

Wenn wir an einer festen Stelle x das Volumen des Zylinders herausfinden wollen, dann lassen wir x fest, und bekommen den Radius der Grundfläche, nämlich:

√(r² - x²) (aus obiger Gleichung x festlassen, - x² auf beiden Seiten und Wurzelziehen).

Jeder Zylinder hat an der Stelle x also das Volumen:

π(r² - x²)dx,

[hier bei Unklarheiten unbedingt ein Bild malen, es wird dir sofort klar werden] und diese Funktion integrieren wir jetzt von -r nach r [über die volle Reichweite der Kugel, also von ganz links nach ganz rechts]. Bei der Integration wird der Unterschied zwischen der Zylinder-Annäherung und dem tatsächlichen Kreis verschwinden, da die Dicke der Zylinder (dx) "unendlich klein" wird.

Wenn du dann dieses Integral ausrechnest, kommst du auf wundersame Weise auf:

V = 4/3πr³.

LG

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Die erste Berechnung stammt vermutlich vom altgriechischen Archimedes. Er stellte eine Halbkugel (Radius R) und einen Kreiszylinder (Radius und Höhe R) auf einen Tisch. Aus dem Zylinder fräste er einen Kegel, dessen Spitze im Mittelpunkt der Grundfläche des Zylinders liegt. Dabei entsteht ein Restkörper. Die Grundfläche des Kegels ist die Deckfläche des Zylinders. Eine Ebene, die vom Tisch den Abstand h hat, schneidet aus der Kugel einen Kreis mit dem Radius r und aus dem Restkörper (Zylinder - Kegel) einen Kreisring. Der Kreis hat die Fläche A = r² pi und der Kreisring hat die Fläche (R²-a²)*pi. Nun ist R² - a² = r². Die beiden Schittflächen sind für jedes h gleich groß. Daher ist (Prinzip von Cavalieri) auch das Volumen der Halbkugel so groß wie das Volumen des Restkörpers. Der Zylinder hat das Volumen V(Z) = R² * pi* R. Das Volumen des Kegels ist V(Z)/3. Daraus ergibt sich das Volumen des Restkörpers und der Halbkugel.

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Hallo,

die Formel für die Kugeloberfläche ist 4*Pi*r²

Wenn Du das integrierst, kommst Du auf (4/3)*Pi*r³.

Das funktioniert aber nicht bei allen Körpern so.

Herzliche Grüße,

Willy

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Alter keine Ahnung. Das hat halt mal
einer aufgestellt. Du könntest genauso fragen. Wieso ist der Flächeninhalt eines Dreieckes 1/2*a*h? Ist halt so

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Kommentar von ReterFan
19.03.2016, 18:58

Also bei dem Flächeninhalt des Dreiecks ist das ja mal sehr gut nachzuvollziehen.

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Kommentar von Ahzmandius
19.03.2016, 19:49

Weil es die Hälfte eines Vierecks mit der einen Seite a und der anderen Seite h ist.

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Hi.

Kleiner Tipp: Rotationsvolumen ^^

Formel für einen Kreis: x² +y² = r²

Nach y umgeformt:

y = Wurzel (r² -x²)

Integrationsgrenzen: -r und r

Formel für das Volumenintegral:

V = Pi * Integral von a bis b [f(x)]² dx

Hier also:

V = Pi * [r²x -1/3 x³] vob -r bis r

= Pi * [(r³ -1/3r³) - (-r³ +1/3r³)]

= Pi * (2/3 r² + 2/3 r³)

= 4/3 * pi * r³

That's it. Ich hoffe ich hab mich nicht verrannt, da ich jetzt zu faul war, irgendwas zu googeln :D

LG

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Kommentar von TomRichter
21.03.2016, 19:48

Stimmt - bis auf den kleinen Tippfehler bei
Pi * (2/3 r²

Ist aber wohl jenseits dessen, was der Fragesteller bisher in Mathe hatte.

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