Frage von Juleesbe, 33

Wiederholung fürs Abitur! Funktionsgleichung aufstellen und Fläche ausrechnen?

Ich Sitz da schon den ganzen Tag dran und hab meine alten Unterlagen rausgesucht aber irgendwie steh ich aufn Schlauch. Kann mir jemand helfen? Danke schonmal!

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 13

Die 1-te Parabel nenne ich mal f(x)

Es sind 3 Punkte notwendig um eine Parabel eindeutig zu bestimmen.

Und man kann tatsächlich auf deinem Bild 3 Punkte gut erkennen.

P _ 1 (-1 | 2)

P _ 2 (0 | 0)

P _ 3 (+1| 2)

Da
der Scheitelpunkt im Ursprung liegt handelt es sich um eine
Normalparabel, aber da 2 * 1 ^ 2 = 2 ist, um eine gestreckte
Normalparabel mit dem Streckfaktor a = 2 mit der Form f(x) = a * x ^ 2

f(x) = 2 * x ^ 2

Die zweite Parabel nenne ich mal g(x)

P _ 1 (-2 | 5)

P _ 2 (0 | 9)

P _ 3 (+2 | 5)


Hierbei
handelt es sich um eine umgedrehte Normalparabel, die zusätzlich auf
der y - Achse um 9 Einheiten nach oben verschoben wurde. Allgemeine Form
einer Parabel -->

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

a = -1 und b = 0 und c = 9

g(x) = - x ^ 2 + 9

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Nun berechnen wir die Schnittpunkte zwischen f(x) und g(x), dazu setzen wir die beiden Funktionen gleich.

2 * x ^ 2 = - x ^ 2 + 9 | + x ^ 2

3 * x ^ 2 = 9 | : 3

x ^ 2 = 3 | √(...)

x _ 1 = -√(3)

x _ 2 = +√(3)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

http://matheguru.com/30-flaeche-zwischen-funktionen.html

Die Fläche A zwischen g(x) und f(x) wird durch folgendes Integral berechnet -->

A (x) = ∫ (g(x) - f(x)) * dx

g(x) - f(x) = (- x ^ 2 + 9) - 2 * x ^ 2 = -3 * x ^ 2 + 9


A (x) = ∫ (-3 * x ^ 2 + 9) * dx = - x ^ 3 + 9 * x + C

Man kann C = 0 setzen

Nun kommen die Nullstellen x _ 1 und x _ 2 ins Spiel, denn das sind die Integralgrenzen.

F = A(+√(3)) - A(-√(3))

A(+√(3)) = - (+√(3)) ^ 3 + 9 * (+√(3)) = 10.392304845413263761164678

A(-√(3)) = - (-√(3)) ^ 3 + 9 * (-√(3)) = -10.392304845413263761164678

A(+√(3)) - A(-√(3)) = 20.784609690826527522329356


Diese Zahl entspricht genauer 12 * √(3)

Kommentar von Juleesbe ,

Dankeschön!😳

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) !

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 11

Ich habe dein Bild mal gedreht, damit man es vernünftig sehen kann.

Falls ich später eine Lösung finde, werde ich noch mal antworten.

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