Frage von Dellyberry, 44

Wie zeigt man nicht abelsche Gruppen und Normalteiler?

Hallo, sitze grad an ein paar Matheaufgaben und komme bei dieser Aufgabe nicht weiter...

Sei G := ZxZ und o: GxG->G gegeben durch ((a; b); (c; d))->(a+c; (-1)^cb+d). (i) Zeigen Sie, dass (G;o) eine nicht-abelsche Gruppe ist. (ii) Zeigen Sie, dass H := 2Zx2Z ein Normalteiler von G ist.

Meine Ideen: Bei der i weiß ich dass ich zeigen soll, dass die Gruppe abgeschlossen, assoziativ ist und ein inverses Element sowie ein neutrales Element aufweist, aber nicht kommutativ ist. Jedoch komme ich bei dem Beweis der nicht Kommutativität nicht weiter weil ich dann ständig auf das Gegenteil komme...

Bei der ii weiß ich nicht wie ich überhaupt anfangen soll...

Wenn mir da jemand einen Ansatz zeigen könnte wäre ich wirklich dankbar

Antwort
von Physikus137, 20

Zu (i):

(a,b) ∘ (c,d) = (a+c, (-1)^c b + d)

(c,d) ∘ (a,b) = (c+a, (-1)^a d + b)

sieht nicht gleich aus, zumindest nicht immer, oder?

Etwa für a gerade, c ungerade.

zu (ii)

Zeige z.B. ∀ g ∈ G: gNg⁻¹ = N, mit g =(a,b) und N = 2Zx2Z

Wie das Inverse von (a,b) aussieht, weißt du ja vom Nachweis der Existenz für die Gruppenaxiome. 2Zx2Z läßt sich auch leicht ausrechnen.

Dann läßt sich damit obiges mit einem Zwei- oder Dreizeiler hinschreiben.

Kommentar von Physikus137 ,

Die Elemente von N = 2Zx2Z haben die Form (4, a+b)

Das Inerse zu g = (a, b) hat die Form (-a, −(-1)^(-a)⋅b)

Damit wird gNg⁻¹ zu:

(c, d) (4, a+b) (-c, (-1)^(-c)d) = ...

... = (c+4, (-1)^4 d+a+b) (-c, −(-1)^(-c)d) = ...

... = (c+4-c, (-1)^(-c)(d+a+b) −(-1)^(-c)d) = (4, a'+b') mit a' = (-1)^(-c)a und b' = (-1)^(-c)b

und (4, a'+b') ∈ 2Zx2Z 

q.e.d

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