Frage von MartiniHarper, 61

Wie zeigt man, dass f : R --> R ein Vektorraum ist?

An sich kenne ich die 3 zu erfüllenden Kriterien, die Aufgabe ist mir aber zu allgemein, mathematisch.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 12

Eigentlich ist f: RR eine Abbildung bzw. eine Funktion, daher nehme ich an, dass Du
{f: RR}
meinst, also nicht eine reelle Funktion, sondern die Menge der reellen Funktionen.
Die ist natürlich ein Vektorraum (über R), denn Funktionen lassen sich addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Natürlich ist dieser Vektorraum unendlichdimensional, denn zu einer beliebig großen Menge Funktionen lässt sich immer eine weitere hinzufügen, die sich nicht als Linearkombination der anderen ausdrücken lässt.

Kommentar von MartiniHarper ,

Nach Aufgabenstellung ist es auch kein Geheimnis, dass dies ein Vektorraum ist.

Die Aufgabe ist, dass man dies zeigt. Eben mathematisch.

Kommentar von SlowPhil ,

Du meintest also die Menge. Nun, seien f und g reelle Funktionen, dann ist auch f+g eine reelle Funktion, die jedes reelle x auf f(x)+g(x) abbildet. Dass beide auch keine Definitionslücken haben, besagt die Definition f:

R—>R und nicht etwa f: D⊂R—>R. Natürlich ist mit f auch λf für jedes λ ∈R eine reelle Funktion, weil mit f(x) auch λf(x) reell ist. Kein reeller Vektorraum wäre z.B. f: R —>R_+, Weil -f jede reelle Zahl auf eine nichtpositive statt auf eine nichtnegative Zahl abbilden würde.

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