Frage von lukasstmhltr, 35

Wie zeigt man, dass A^T*A = E für eine orthogonale Matrix?

Hallo zusammen, ich soll oben geschriebene Aussage für eine orthogonale n x n-Matrix A beweisen. Kann mir da jemand helfen?

Besten Dank!

Antwort
von PeterKremsner, 21

Die Frage ist etwas komisch, denn eine Matrix A wird erst als orthogonal bezeichnet wenn sie die Bedingung.

A^t*A = E erfüllt.

Also wenn du sagst die Matrix A ist orthogonal dann erfüllt sie implizit diese Bedingung ansonsten wäre sie nicht orthogonal.

Kommentar von isbowhten ,

es könnte sein, dass die orthogonale matrix eingeführt wurde als matrix bestehend aus spalten, welche ein orthonormalsystem bilden.

dann ist jeder eintrag des matrixproduktes von A^T A natürlich nur eines der skalarprodukte der orthonormalen spaltenvektoren.

nur bei gleichen vektoren kommt dann 1 raus, bei ungleichen kommt 0 raus. die 1er erscheinen dann natürlich auf der diagonale, wie man leicht einsehen kann, wenn man das einfach mal ausrechnet.

Kommentar von PeterKremsner ,

Das stimmt allerdings, aber wie gesagt ich kenne leider nur diese Eigenschaft mithilfe derer man überprüft ob die Matrix orthogonal ist.

Aber so wie du es geschrieben hast, könnte man den Beweis durchaus so vollziehen.

Ich glaube die Spaltenvektoren müssen aber, in dem Fall, nur ein Orthogonalsystem und kein Orthonormalsystem sein. 

Müsste man durchrechnen, aber ich vermute es mal.

Kommentar von PWolff ,

Wenn man die Matrix verdoppelt, erhält man die vierfache Einheitsmatrix, also nicht mehr die Einheitsmatrix selbst.

(Wieso man diese Art von Matrizen nur als orthogonal und nicht auch als orthonormal bezeichnet, ist mir auch schleierhaft.)

Kommentar von PWolff ,

Bei der Definition als "Matrix, deren Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) Einheitsvektoren sind, die paarweise orthogonal aufeinander stehen" ist der Name "orthogonale (besser: orthonormale?) Matrix unmittelbar einsehbar, bei "Matrix, deren Inverse gleich ihrer Transponierten ist" ist "orthogonal" ein willkürlich gewählter Name.

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