Frage von sabine1121, 26

Wie zeige ich durch Vollständige Induktion diese Aussage zu Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten?

Guten Tag miteinander,

Ich soll in einer Übungsaufgabe diese Aussage durch vollständige Induktion beweisen: Sind v1,...,vm Eigenvektoren einer linearen Abbildung L: V --> V zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1,...,λm dann sind v1,...,vm linear unabhängig.

Das Vorgehen bei einer vollständigen Induktion ist mir zwar klar, aber ich schaffe es nicht das ganze so zu 'schieben', dass ich die Aussage beweisen kann und wäre darum um Hilfe äusserst dankbar. Das Finden von Lösungswegen für vollständige Induktionen fällt mir bei solchen Aussagen generell schwer und da ich die Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung und nicht als Hausaufgabe löse kann ich leider auch nicht den Dozenten fragen...

Ich bedanke mich bereits herzlich im Voraus!

Antwort
von eterneladam, 10

Die Induktion geht über die Anzahl Vektoren.

Linear unabhängig heisst, dass der Nullvektor nur trivial dargestellt werden kann, d.h Summe( i=1; m; ai vi) = 0 geht nur mit ai = 0 für alle i=1...m

Induktionsanfang: Für m=1 müssen wir gar nichts zeigen, ein einzelner Eigenvektor ist immer linear unabhängig, da a1 v1 = 0 nur dann  sein kann, wenn a1 = 0 ist. (Eigenvektoren sind per Definition ungleich Null.)

Induktionsschritt, wir haben den Beweis für m-1 und suchen ihn unter dieser Voraussetzung für m:

Wir nehmen an, dass Summe( i=1; m; ai vi ) = 0

Dann sind auch Summe( i=1; m; ai λn vi ) = 0

und 0 = L ( Summe( i=1; m; ai vi ) ) = Summe( i=1; m; ai L(vi) ) = Summe( i=1; m; ai λi vi ), wobei wir die Linearität von L und die Eigenschaft der Eigenvektoren verwendet haben.

Beides voneinander abziehen gibt

0 = Summe( i=1; m; ai λn vi -ai λi vi ) = Summe( i=1; m-1; ai (λn-λi) vi )

Jetzt haben wir nur noch eine Summe bis m-1. können also nach Induktionsvoraussetzung schliessen, dass ai (λn-λi) = 0, i=1....m-1

Weil die λi paarweise verschieden angenommen wurden, folgt daraus ai = 0, i=1....m-1

Dann bleibt von unserer ursprünglichen Annahme:

Summe( i=1; m; ai vi ) = an vn = 0, was auch noch zu an = 0 führt. Also müssen alle ai = 0 sein, also sind die Vektoren linear unabhängig, was zu beweisen war.

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