Frage von xxLiiisaaXx, 17

Wie zeige ich, dass g o f umkehrbar ist?

Seien f:A --> B , g:B --> C umkehrbare Abbildungen. Wie zeige ich, dass g o f umkehrbar ist?

Antwort
von QuestLeo, 10

Das ist zunächst einmal abhängig davon, wie ihr umkehrbar definiert habt. Falls bekannt ist, dass der Zusammenhang

  • f ist bijektiv <--> f ist umkehrbar

gilt, dann würde es genügen Bijektivität von g o f zu zeigen. Auch hier hängt es von deinem Wissensstand ab, was noch zu zeigen ist. Zuzeigen wäre: Die Verknüpfung injektiver Abbildungen ist injektiv und analog auch die Verknüpfung surjektiver Abbildungen.

Kommentar von xxLiiisaaXx ,

So kenn ich es auch. Das Problem ist, ich weiß nicht wie ich den Beweis aufschreiben soll.

Kommentar von QuestLeo ,

Ich gebe dir mal den Beweis für die Injektivität an, dann solltest du das Prinzip erkennen und selbstständig den Beweis für die Surjektivität erbringen können.

Sei h := g o f. Weiter seien x,y aus der Grundmenge mit h(x) = h(y). Zu zeigen ist, dass x = y gilt. h(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = h(y). Da g injektiv ist, gilt f(x) = f(y). Da f ebenfalls injektiv ist, gilt x = y. 

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