Frage von sabine1121, 35

Wie zeige ich, dass für alle nxn Matrizen A,B gilt AB-BA ≠ E?

Hallo zusammen,

Ich soll allerlei Aussagen zu Matrizen beweisen, ähnlich der oben in der Frage geschilderten. Bis jetzt hat mir das keine Probleme gemacht, Sachen wie Spur(AB)=Spur(BA) lagen quasi schon auf der Hand.

Aber wie ich AB - BA ≠ E beweisen soll ist mir leider nicht klar... Kann mir da jemand helfen? Ich wäre äusserst dankbar!

Liebe Grüsse,

Sabine

Antwort
von isbowhten, 17

der vorschlag von FelixFoxx geht in die richtige richtung. allerdings... was steht da beim matrixprodukt auf der diagonalen? irgendwie eine summe, nicht eine auflistung von a1b1,...,an,bn....

anstatt auszurechnen, was da steht, geht das auch anders:

sei x ein beliebiger vektor ungleich 0. dann ist x^T E x = ||x||^2 != 0.

aber x^T AB x - x^T BA x = x^T BA x - x^T BA x = 0. dabei wurde die reihenfolge des ersten produkts  geändert. das ergebnis dieses produkts ist eine zahl. diese kann ich auch transponieren, ohne dass sich etwas ändert (d.h. ich transponiere eine 1x1-matrix).

zusammenhang zur diagonale von FelixFoxx:

wäre x ein einheitsvektor , so wäre das angegebene produkt x^T M x für eine matrix m gerade der entsprechende diagonaleintrag!!

Antwort
von FelixFoxx, 26

Wenn Du die Matrizen miteinander multiplizierst, hast Du auf der Diagonalen in beiden a1b1, a2b2,...,anbn stehen. Ziehst Du beide voneinander ab, stehen auf der Diagonalen Nullen, daher kann es nicht die Einheitsmatrix sein.

Antwort
von eterneladam, 9

Wenn für dich Spur(AB) = Spur(BA) quasi schon auf der Hand liegt, dann doch erst recht

Spur(AB-BA) = Spur(AB) - Spur(BA) = 0

Die nxn Einheitsmatrix E hat Spur(E) = n.

Damit ist alles klar.

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