Frage von DerIdealeMann, 51

Wie zeige ich, dass 0,9090.... eine rationale Zahl ist?

Mir ist klar wie Zahlen wie 1,6666.... als rationale Zahlen zu zeigen sind, nämlich mit 1 + 6*((1/(1-1/10)) - 1) = 5/3 . Wie müsste das für 0,9090.. aussehen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 42

Hallo,

Du multiplizierst mit einer Zehnerpotenz, die so groß ist, daß die gesamte Periode vor das Komma kommt:

0,909090...*100=90,9090...

Nun kannst Du folgende Gleichung aufstellen:

100*0,909090...-1*0,909090...=90

(100-1)*0,909090...=90

99*0,909090=90

0,909090...=90/99=10/11

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 19

Du schreibst

0,9090…,

woraus nicht klar hervor geht, ob es sich um

0,{90}

handelt, wobei die »{…}« hier die Periodizität darstellen soll, oder z.B. die aperiodische Zahl

0,909009000900009…,

die irrational wäre.

Natürlich nehme ich Ersteres an.
Periodische Zahlen sind allerdings immer rational. Angenommen, eine Zahl habe eine Ziffernfolge von n Ziffern, die für sich genommen (ohne Periode und ohne Komma) die natürliche Zahl N darstelle (in Deinen Beispiel ist n=2 und N=90).

Dann kann man die Zahl als

N·∑_[k=1]^{∞} (10¯ⁿ)^k

schreiben, und die Summe ist eine (mit Index 1 beginnende) geometrische Reihe in 10¯ⁿ, mit dem Grenzwert

N×10¯ⁿ/{1 – (10¯ⁿ)} = N/{10ⁿ – 1},

was eindeutig ein Bruch zweier natürlicher Zahlen ist.

Sollte die Periode irgendwie später beginnen und vorher noch irgendetwas anderes kommen, so kann man die Zahl in Summanden zerlegen, sodass einer ein abbrechender Dezimalbruch ist und der andere eine rein periodische Zahl. In diesem Fall ist auch wieder klar gestellt, dass es sich um die Summe zweier rationalen Zahlen handelt, und die ist ebenfalls rational (ℚ ist ja sogar ein Körper).

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

   __
0,90 kann ebenso dargestellt werden als 90/99.

Eine periodische Zahl kann als Bruch mit der Periode als Zähler und einer "Neunerreihe" als Nenner. ;)

                                                      __
Da 90/99 ein Bruch ist, ist auch 0,90 rational. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Antwort
von precursor, 51

Eine rationale Zahl ist eine Zahl die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.

10 / 11 erfüllt deine Zahl.

Kommentar von precursor ,

P.S -->

1 / 0.90909090.... = 1.1

1.1 = 11 / 10

umkehren -->

10 / 11

Antwort
von iokii, 44

Wenn die Perioden mehrere Zahlen lang sind, nimmt man 99-stel anstatt 9-tel, also 90/99.

Kommentar von Mikkey ,

... oder man weiß, dass es 10/11 sind. ;)

Kommentar von Comment0815 ,

90/99 = 10/11

Es ist immer besser, zu verstehen, wie eine Herleitung funktioniert, als zu "wissen".

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