Wie zeichnet man ein Parallelogram mit 30 cm Umfang, aber mit möglichst viel Fläche?

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2 Antworten

Okay, dass die Lösung a = 7,5 und b = 7,5 ist, hat ja jeder schon gesagt.

Aber ich versuche dir das mal wirklich mathematisch vorzurechnen.

(Also nicht rein algebraisch, auch mit logischen Schlussfolgerungen, aber das ist ja auch eine gültige Weise, Sachen zu berechnen.)

Sehen wir uns mal die Formel an, die den Flächeninhalt von Parallelogrammen beschreibt:

a * b * sin(α)

α ist der Winkel der Seiten (welche du nimmst, ob es nun der größere oder kleinere ist, ist egal wegen dem Sinus, ich nehme mal den kleineren) von 0 bis 90 Grad.

Nehmen wir also mal an, a und b seien konstant für α setzen wir verschiedene Werte ein. Also hängt der Flächeninhalt nur noch vom Winkel ab. Und du weißt vielleicht, was für verschiedene Werte für α in sin(α) passiert.

Das maximale, was wir einsetzen können, ist ja 90, das kleinste 0.

sin(90) = 1

...

...

...

sin(0) = 0

Wie du siehst, ist das größte mögliche Ergebnis eins, das kleinste null. Das heißt, um den größtmöglichen Flächeninhalt zu bekommen, muss α = 90° sein, da in dem Fall der Faktor sin(α) in der Formal am größten ist, also 1.

90° also? Das ist ein Rechteck. Wir suchen also nunmehr ein spezifisches Parallelogramm, nämlich ein Rechteck.
Das ist schön, denn Rechtecke haben ja bekanntlich eine simple Formel für ihre Fläche und zwar A = a * b.

Nun wissen wir außerdem 2a + 2b = 30 muss auch gelten:

So nun stell dir einmal ein 2D - Koordinatensystem vor, statt x und y hast du a und b.

Du kannst ja einen Wert für a einsetzen und einen Wert für b einsetzen und bekommst ja was raus oder? Das heißt, wenn wir in diesem gedachten Koordinatenraum für a = 2 einsetzen und für b = 3 einsetzen, dann landen wir im Punkt (2/3). Zeichne das ruhig mal auf.

So und nun mach ein Rechteck indem du jeweils 2 Striche malst, die jeweils deinen Punkt und die beiden Achsen verbinden. Das Rechteck, dass du bekommst, stellt ja dein Rechteck für deine Werte a und b dar, oder?

Nun ist gegeben, 2a + 2b = 30, also a + b = 15

Das schränkt schlagartig ein, wo du die Punkte in deinem Koordinatengitter setzen darfst.

Deine beiden Grenzfälle wären: 

1.) Du setzt für a = 0 ein und für b = 15. Das wäre der Punkt (0/15) in deinem Koordinatengitter.

2.) Du setzt für a = 15 ein und für b = 0. Das wäre der Punkt (15/0) in deinem Koordinatengitter.

Zeichne diese Punkte bitte ein und dann verbinde diese Punkte mit einem Lineal.

So, jetzt hast du eine Linie, von der du weißt, dass alle Punkte, die du setzt auf dieser Linie liegen müssen. Aus dieser Linie könnten wir eine Funktion machen. Und zwar die Funktion:

f(a) = -a + 15 = b

So, nun hasst du eine Funktion, die dir automatisch einen Wert für b ausspuckt, wenn du ein a eingibst. Das heißt, egal was du für a einsetzt, diese Funktion wird dir immer den korrespondierenden b-Wert ausspucken, sodass a + b = 15 auf jeden Fall gilt.

So jetzt machen wir aus der ursprünglichen Formel A = a * b eine Funktion, die nur von a abhängt.

A(a,b) = a * b

unsere Funktion f, die wir gerade hergeleitet haben, stellt ja b dar, daher:

A(a) = a * f(a)

A(a) = a * (-a + 15) = -1 * a² + 15a

Glückwunsch! Jetzt hast du eine Funktion, die NUR von einer Seite a abhängt und dir automatisch den Flächeninhalt A angibt, ohne b überhaupt einsetzen zu müssen.

So, und es gibt natürlich einen Grund, warum wir den ganzen Scheiß bis jetzt gemacht haben, denn wir wissen ja, wie man Hochpunkte von Funktionen berechnet, oder? Wir haben aus unserem Sachverhalt eine Funktion gemacht, die uns den Flächeninhalt angibt, wobei wir alle Bedingungen beachtet haben, also können wir, um die Lösung für den größtmöglichen Flächeninhalt zu bestimmen, einfach den Hochpunkt unserer Funktion bestimmen! Ist das nicht toll?!? :D

Also weiter im Text. Hochpunkte einer Funktion zu bestimmen ist doch trivial.

A(a) = -1 * a² + 15a --> Erste Ableitung bilden

A'(a) = -2 * a + 15 --> Erste Ableitung gleich null setzen.

-2 * a + 15 = 0             | - 15

-2 * a = -15                  | /-2

a = 7,5

GRATULATION!

Wir haben einen konkreten Wert für a berechnet! Jetzt sind wir fast fertig!

Da wir a jetzt wissen, können wir aus der Formel a + b = 15 ganz leicht auf b schließen.

7,5 + b = 15        | -7,5

b = 7,5

PARTY HARD! Wir haben die Lösung.

Für a = 7,5 cm und b = 7,5 cm (und α = 90° wohlgemerkt) hat ein "Parellelgoramm" mit dem Umfang 30 cm den größten Flächeninhalt!

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Flächenmäßig am größten wäre es mit a=7,5cm und allen Winkeln 90°.
Also ein Quadrat mit Seitenlänge 7,5cm.

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