Frage von WillibergiUsermod Junior, 154

Wie würdet ihr die folgende Aufgabe lösen?

Das Ergebnis ist ∈ ℕ.

LG Willibergi

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 44

Wenn 2/3 x mod 3 = 1, dann ist 2x durch 3 teilbar, da sonst 2/3 x keine ganze Zahl wäre. Formal begründen wir das, indem wir die Gleichung mit 3 multiplizieren, dann 2x mod 3 = 3 mod 3 = 0. Da 2 und 3 teilerfremd sind, ist x durch 3 teilbar.

Mit einem analogen Argument (aus der zweiten Gleichheit) ist x durch 9 teilbar (indem man 2/3 x = u setzt und sieht, dass die Gleichung 2/3 u mod 3 = 1 identisch ist, also 2u durch 3 teilbar -> u durch 3 teilbar -> 2/3 x durch 3 teilbar -> x durch 9 teilbar [da 2 und 3 teilerfremd]). Wenn x aber durch 9 teilbar ist, dann ist 2/3 x durch 3 teilbar, also 2/3 x mod 3 = 0. Also leider keine Lösung.

LG

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Hallo,

ich schließe mich der Ansicht von gfntom an. Im Unterschied zu ihm hatte ich gleich bei 8/27 angefangen. Damit sich hier eine natürliche Zahl ergibt, die nach Division durch 3 einen Rest von 1 läßt, muß x auf jeden Fall ein Vielfaches von 27 sein, da 8 und 27 teilerfremd sind. Damit Du auf einen Rest von 1 kommst, kann es sich hier nur um 2*27; 5*27; 8*27 usw. handeln, da nur Zahlen wie 3n+2, mit 8 multipliziert, mod3=1 sind: 16, 40, 64 usw.

Wenn ich aber diese Zahlen in den zweiten Summanden (4/9)x einsetze, also 27*(3n+2), komme ich wegen der Division durch 9 auf 3*4*(3n+2), was immer eine Zahl ergibt, die mod3=0 ist und somit die Voraussetzungen nicht erfüllen kann.

Herzliche Grüße,

Willy



Antwort
von gfntom, 50

Ich bin nicht sicher, aber ich glaube es gibt keine Lösung:  

2/3 x mod 3 = 1
bedeutet 2/3 x = a * 3 +1   // a ganzzahlig
des weiteren muss x durch 3 teilbar sein, um den Bruch loszuwerden.

also 2 x = a * 9 + 3 -> x = 6, 15, 24 (also 6 + u * 9)

für 4/9 x mod 3 = 1  folgt in analoger Betrachtung

4 x = b * 27 + 9 -> x = 9, 36, 63 (also 9 + v * 27)

und

für
8/27 x mod 3 =1
8 x = c * 81 + 9 -> x = 54, 135 (also 54 + w * 81)

Wenn ich mich in der Eile nicht vertan habe, gibt es keine ganzzahligen Lösungen für u, v und w, die auf das (oder die) selbe(n) x führen.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 32

Zunächst einmal würde ich zurückfragen, was denn nun mit diesen Brüchen gemeint ist.

Als Programmierer denke ich natürlich zuerst an die Verwendung der Abrundungs-Funktion (Gaußklammer, in Programmiersprachen meist Floor genannt):

z. B. 17/5 mod 3 =((17/5)/3) - Floor((17/5)/3) * 3 = 2/5

Es kann aber auch die multiplikative Inverse im ℤ_n gemeint sein. In diesem Beispiel spricht dagegen, dass im ℤ_3 3 = 0 ist.

Dann kann noch gemeint sein, dass der erste Operand des mod-Operators eine ganze Zahl sein soll, d. h. x muss ein Vielfaches von 27 sein. Aber auch dann wäre das Ergebnis des mod-Operators im ersten Fall = 0.

Also bliebe nur die Frac-Funktion (Identität minus Floor-Funktion), skaliert auf 3:

Frac(((2/3)x)/3)*3 = Frac(((4/9)x)/3)*3 = Frac(((8/27)x)/3)*3 = 1

Kommentar von Roach5 ,

Aus der ersten Gleichung folgt bereits, dass x eine ganze Zahl sein muss. Also haben wir leider auch keine reelle Lösung, wenn ich das richtig erkenne.

Kommentar von PWolff ,

Aber da krieg ich so was raus wie 0 kongruent 2 (mod 3)

Kommentar von Roach5 ,

Ja. Alles wichtige ist nur, dass x eine ganze Zahl sein muss. Danach führt man das Argument einfach für ganze Zahlen und sieht, dass x als ganze Zahl gleichzeitig x mod 3 = 0 und x mod 3 = 1 erfüllen müsste (siehe meine Antwort). Gibt also leider keine Lösung, oder überseh ich irgendwas wichtiges?

Antwort
von Schachpapa, 26

 gfntom war nahe dran.

Die erste Kongruenz wird von 6+9v erfüllt, die zweite von 9 + 27w = 9 + 3*9v

Die beiden Lösungsmengen sind disjunkt. Es gibt keine ganzzahlige Lösung.

Antwort
von kepfIe, 33

Das klingt nach chinsischem Restsatz. 

(2/3)x ≡ 1 mod 3 

(4/9)x ≡ 1 mod 3 

(8/27)x ≡ 1 mod 3 

Wie man da mit Brüchen umgeht weiß ich aber nich mehr, sorry.

Kommentar von kepfIe ,

Von allem was ich jetzt ergooglet hab (Zahlentheorie is nich so meins) bin ich der Meinung dass das gar nicht lösbar ist, weil [27]=[9]=[3]=[0], und somit alles Nullteiler in mod 3. 

Oder soll das eine echte Lösung haben?

Antwort
von Goodgamer30, 74

Das ist eine modulo Operation.

Das Ergebniss dieser Gleichung muss 1 ergeben daher können nur natürliche Zahlen (1,2,3,4,5,6,...) eingesetzt werden.

Kommentar von Willibergi ,

Inwiefern ist das eine Antwort auf meine Frage?

Dass das eine Modulo-Operation ist, weiß ich - der Rest steht im Fragetext.

Ich frage nach der Lösung der Gleichung.

LG Willibergi

Kommentar von Goodgamer30 ,

Die Lösung hast du doch schon :)

Wenn du meinst wie sie gelöst wird:

Modulo ist der Rest einer Division
Beispiel: 10 mod 3 = 1 (10:3=3 Rest 1)

Hilft dir das weiter?

Finde x, damit die Gleichung 2/3x mod 3 =1 stimmt


PS: Wie wäre es mit x=6?


Kommentar von Willibergi ,

Nochmal: Ich kenne die Modulo-Operation und weiß, was sie macht.

"Die Lösung hast du doch schon :)"

Nein. Trivialerweise geht es um x.

"Wenn du meinst wie sie gelöst wird:"

JAAAAA! Steht übrigens auch im Fragetitel, den man sich mal durchgelesen haben sollte.

"Finde x, damit die Gleichung 2/3x mod 3 =1 stimmt"

Das ist der Grundsatz der Äquivalenzumformung.

Da die Modulo-Operation jedoch nicht invertierbar ist, stellt sich das als schwierig heraus.

Die Frage ist, wie die Gleichung gelöst werden sollte - nicht was Modulo bedeutet oder dergleichen!

"Wie wäre es mit x=6?"

Wäre schlecht, da x = 6 nur für das erste Gleichungsglied eine wahre Aussage liefert.

LG Willibergi 

PS: Ist die Frage so schwer formuliert?

Kommentar von Goodgamer30 ,


Nein. Trivialerweise geht es um x.

Du hattest in der vorhergehenden Antwort nach der Lösung gefragt. Nicht nach dem Weg Da die Modulo-Operation jedoch nicht invertierbar ist, stellt sich das als schwierig heraus.

Ich bin sehr sarkastisch veranlagt. Daher wahrscheinlich mein Fehler.

Da die Modulo-Operation jedoch nicht invertierbar ist, stellt sich das als schwierig heraus.

Daher Gehirn einsetzten. Du sollst auch nicht die Modulo Operation invertieren sondern x= n*m+r -.-


Und bitte das PS lesen.



Kommentar von Willibergi ,

"Du hattest in der vorhergehenden Antwort nach der Lösung gefragt."

Ich bin ja schon froh, wenn mir jemand eine plausible Lösung gibt. Wobei der Fragetitel "Wie würdet ihr (...) lösen?" eine Frage nach dem Rechenweg schon impliziert.

"Ich bin sehr sarkastisch veranlagt."

Den Sarkasmus kann ich aber nirgends erkennen. Ich sehe nur Verständnisschwierigkeiten.

"Du sollst auch nicht die Modulo Operation invertieren sondern x= n/m+r -.-"

Ich weiß.

"Und bitte das PS lesen."

Das gebe ich so zurück.

LG Willibergi 

Kommentar von Goodgamer30 ,

Ich muss gerade meine ganzen Mathe Funktionen wieder einsetzten. Diskrete Strukturen hat mich ziemlich zerstört. Daher entschuldigung.

Kommentar von Goodgamer30 ,

Beziehungsweise ich hab mumpitz gelabert:

Es ist die Funktion a mod m= a- [a/m]*m

oder hier im Beispiel 2/3x mod 3 = 2/3x- [(2/3x)/3]*3=1

Kommentar von Willibergi ,

Das hilft mir alles nichts.

LG Willibergi 

Kommentar von Goodgamer30 ,

Ich bin selber verwirrt...

Kommentar von Goodgamer30 ,

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