Frage von BestOnce, 48

Wie wird das Volumen maximal?

Aus einem Kreis mit dem Radius r wird ein symmetrischer Stern ausgeschnitten und die vier Ecken A,B,C,D zur Spitze einer quadratischen Pyramide hochgebogen. Wie groß kann das Volumen der entstehenden Pyramide höchstens werden? Wie groß ist in dem Fall die Pyramidenoberfläche?

Also man hat einen Kreis in dessen Mitte ein Quadrat gezeichnet ist. Die Seiten des Quadrats bilden jeweils die Grundseite der Dreiecke. Die Dreiecke laufen zum Kreis hin spitz zu und haben ihre Spitze bei 0, 90, 180 und 270°.

Ich hab jetzt zuerst das Volumen aufgestellt. V= a2/3*h

Wie mache ich weiter?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Hallo,

der Radius des Kreises ist a/2+die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks, das über der Kante des inneren Quadrates konstruiert ist, also r-(a/2).

Dann ist die Höhe der Pyramide nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus {[r-(a/2)]²-(a/2)²}=√(r²-ar+a²/4-a²/4)=√(r²-ar)

Das Volumen berechnet sich aus (1/3)*a²*h,

also (1/3)*a²*√(r²-ar)

Die Zielfunktion lautet also f(a)=(1/3)*a²*√(r²-ar)

Um die Ableitung nach a zu bilden (r ist ja eine vorgegebene Konstante), wendest Du die Produkt- und die Kettenregel an:

f'(a)=(2/3)a*√(r²-ar)-(1/3)a²/[2√(r²-ar)]

Um das Maximum zu finden, setzt Du f'(a) gleich Null:

(2/3)a*√(r²-ar)=(1/3)a²/[2√(r²-ar)] |*√(r²-ar)

(2/3)a*(r²-ar)=(1/6)a²

(2/3)ar²-(2/3)a²r=(1/6)a²

a*[(2/3)r²-(2/3)ar-(1/6)a]=0 |:a

(2/3)r²-a*[(2/3)r-1/6]=0

a=[(2/3)r²]/[(2/3)r-1/6]


Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Wechselfreund ,

Fehlt evtl. in f' im hinteren Teil die innere Ableitung r?

Kommentar von Willy1729 ,

r ist lediglich eine Konstante, die beim Ableiten verschwindet. Es bleibt nur das Minuszeichen übrig.
Wir leiten ja nach a ab, nicht nach r.

Kommentar von ralphdieter ,

d/da (r²-ar) = -r

Und damit: f'(a) = ar(2r-a) / [2√(r²-ar)],
also Nullstelle bei a=0 und a=r/2.

Das beruhigt mich, denn eine lineare Abhängigkeit a=c·r hätte ich rein anschaulich auch erwartet.

Kommentar von ralphdieter ,

Ich schreibe auch nur Quatsch!

f'(a) = ar(4r-3a) / [6√(r²-ar)],
also Nullstelle bei a=0 und a=4/3·r.

Stimmt's jetzt?

Kommentar von Willy1729 ,

Ihr habt recht. Ich habe das r bei ar übersehen. Das verschwindet beim Ableiten natürlich nicht. Ich dachte, Ihr meint das r².

Dann muß man das Ganze noch etwas anders hinschreiben.

Ich hatte es eben aber auch ein wenig eilig, weil ich weg mußte. So habe ich nicht noch mal drübergeschaut.

Willy

Kommentar von ralphdieter ,

Zum Kuckuck nochmal, wieder daneben!

Letzter Versuch mit ar(4r-5a): a=4/5·r.

Und den Rest überlasse ich dem Leser als Übungsaufgabe :-)

Kommentar von Willy1729 ,

a=(4/5)r habe ich auch - unabhängig von Deiner Rechnung - herausbekommen. Scheint also zu stimmen.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Wechselfreund, 48

Zielfunktion: V = 1/3 a²·h

Nebenbedingungen: h = Wurzel (ha² + a²/4) S d P

                                   2 ha + a = 2r

Kommentar von BestOnce ,

falsch

Kommentar von Wechselfreund ,

Dann begründe mal... Es ist tatsächlich ein Fehler drin, mal sehen, ob du den findest...

Kommentar von BestOnce ,

h= Wurzel ha^2-a^2/4

Kommentar von Polynomo ,

Aber Vorsicht, nicht verwechseln: Das  a  bei  ha  entspricht  nicht  dem  a  der Volumenformel, sondern ist als Index zu verstehen, bezeichnet  bei  ha  also die Höhe der Dreiecke.

Kommentar von UlrichNagel ,

Und natürlich ableiten für Max.

Kommentar von Wechselfreund ,

Und natürlich müssen in der Zielfunktion noch Variablen über die Nebenbedingungen ersetzt werde. Wahrscheinlich hab ich die Fähigkeiten des Fragestellers etwas überschätzt...

Kommentar von BestOnce ,

Keine Sorge... Meine mathematischen Fähigkeiten übersteigen deine um einiges. Wenn du nicht mal in der Lage bist den Satz des Pythagoras richtig zu bilden, bist du nicht geeignet, um auf eine solche Frage zu antworten.

Kommentar von Wechselfreund ,

Wer in der Volumenformel 2/3 als Faktor benutzt sollte zweimal nachdenken... Immerhin kann ich die Aufgabe ohne Hilfe lösen...

Kommentar von BestOnce ,

das soll a quadrat durch 3 heißen

Kommentar von Wechselfreund ,

akzeptiert!

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