Frage von xEmma1997, 58

Wie widerlegt man, dass eine Quadratzahl, die mit eins subtrahiert wird, nicht immer ungerade ist?

Hallo :) Ich überlege nun schon einige Zeit, wie ich folgende Aufgabe lösen könnte:

Widerlege: Wenn man von einer Quadratzahl eins subtrahiert, dann erhält man immer eine ungerade Zahl.

Das trifft natürlich nicht bei allen Quadratzahlen zu; z.B 5^2 - 1 =24
Die Quadratzahl muss logischerweise gerade sein, damit das Ergebnis ungerade ist und umgekehrt. Aber wie genau soll ich die oben genannte Aufgabe widerlegen?

Antwort
von wilees, 27

Jede mit sich selbst multiplizierte ungerade Zahl ergibt eine ungerade Zahl, deshalb ist das Ergebnis wenn ich "eins" subtrahiere immer eine gerade Zahl.

Umkehrschluß: Umgekehrt verhält es sich, wenn ich gerade Zahlen mit sich selbst multipliziere und "eins" subtrahiere. Dieses Ergebnis ist zwingend, da jeweils eine gerade Zahl auf eine ungerade Zahl folgt und umgekehrt.

Antwort
von Rubezahl2000, 20

Wenn eine Behauptung angeblich "immer" oder "für alle..." gilt, dann reicht zum Widerlegen EIN Gegenbeispiel!

Bei deiner Aussage reicht es, zu zeigen, dass die Aussage z.B. für die Quadratzahl 25 NICHT gilt. Damit hast du bewiesen, dass die Aussage NICHT IMMER gilt. Fertig :-)

Antwort
von zueinfach, 26

Naja per Widerspruch eben. Mit dem Beispiel hast du's ja im Prinzip schon gezeigt. 

Wenn du's formell machen sollst würde ich zeigen dass (2k+1)^2 Also eine ungerade Zahl zum Quadrat auch immer eine ungerade Zahl ergibt (da = 4k^2 + 4k + 1 und gerade Zahl mal gerade Zahl, sei es 2k mal 2 oder entsprechend 4k mal sich selbst, auch eine gerade Zahl ergibt). 

Sorry für den Wirrwarr aber ich hoffe das hilft dir weiter :)

Kommentar von varlog ,

Das ist auch wenn man es formal machen möchte nicht nötig. Die Aussage ist: es gilt immer. Wenn man ein Gegenbeispiel findet gilt die Aussage nicht immer und ist somit widerlegt.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 8

Hallo,

wie die anderen schon sagten, reicht ein Gegenbeispiel aus, um die Behauptung zu widerlegen.

Als im Dritten Reich das Buch 'Hundert Autoren gegen Einstein' erschien, meinte dieser dazu nur trocken: 

Wenn ich unrecht habe, reicht einer.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Luksior, 13

"Widerlege: Wenn man von einer Quadratzahl eins subtrahiert, dann erhält man immer eine ungerade Zahl."

Immer heißt: Ohne Ausnahme. Wie du schon gezeigt hast, ist 5^2-1 = 24, also nicht ungerade. Damit hast du das Wort "immer" und damit die gesamte Aussage schon widerlegt.

Antwort
von gweenn33, 28

Ein Beispiel reicht nicht zum beweisen einer These. Allerdings um zu beweisen, dass sie falsch ist ;-)

Kommentar von Rubezahl2000 ,

So allgemein kann man das nicht sagen; das kommt auf die These an.
Z.B. die These:
"Es gibt Zahlen, die kleiner werden, wenn man sie verdoppelt"
Zum Beweis dieser These reicht EIN Bsp!
Z.B. mit der Zahl -1 und der Tatsache, dass -2 < -1 ist diese Behauptung bewiesen!

Antwort
von valvaris, 37

Durch dein Gegenbeispiel hast du es doch schon widerlegt. Schreib nen Antwortsatz dazu.

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