Frage von Genji, 50

Wie werden Lösungen bezeichnet, die aus Näherungsformeln berechnet wurden?

Wenn es für eine Lösung eines mathematischen Problems eine geschlossene Formel gibt, nennt man diese ja analytische Lösung. Aber wie nennt man eine Lösung, die aus Näherungsformeln berechnet wurden? Handelt es sich dabei um quasi-analytische Lösungen oder ist das nochmal was anderes?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 15

Laut Wiki wird zwischen analytisch und numerisch unterschieden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichung#Analytische_L.C3.B6sung

ABER es gibt bei allen Lösungen, die eine irrationale Zahl ergeben,

immer nur Algorithmen (Bildungsgesetze, Berechnungsmethoden) mit endlicher Genauigkeit!

Es liegt also allein am Menschen, ob er einen "Eigennamen" für diesen Algorithmus vergeben hat, und ob sie/er anerkannt wurde.

Anerkannte Funktionen sind: Wurzel { sqrt(x) }, sin(x), asin(x), ...

Grenzfälle sind z.B.: LambertW(x,y)

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

da sie relativ unbekannt ist und nur wenige Rechner sie kennen (und von den wenigen noch weniger mit komplexen Zahlen rechnen können), behaupten viele Menschen (besonders Lehrer bis zur 10. Klasse!), dass es keine analytische Lösung gebe!

Viele Integralfunktionen { erf(x)

manchmal auch deren Umkehrfunktion wie  aerf(x) 

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Erf/07/ShowAll.html

} haben einen Eigennamen bekommen. Sie werden jedoch meist numerisch {bzw. per hypergeometrische Funktionen} berechnet. {

http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php

kennt über 200 }

IntegralxPowX(x) {manchmal auch Sphd(x) } ist so eine typische Funktion, die nach heutigem Erkenntnisstand nur numerisch berechnet werden kann und noch nicht anerkannt ist. Selbst die Berechnung ist eine unendliche Summe aus  Integralfunktionen...

Achtung: dann gibt es noch Näherungsformeln, die meist aus Zeitgründen (Bequemlichkeit, Kostenoptimierung) oder Unwissenheit eingesetzt werden und nur für begrenzten Argumentenbereich nur wenige Nachkommastellen berechnen können. (also keine Reihen )

Besonders Billig-Taschenrechner nutzen diese Art der Abkürzung und rechnen manchmal nicht mal 4 Nachkommastellen richtig:

http://www.lamprechts.de/gerd/GrobeFPU_Fehler.htm

(Tabelle unten)

Mit wachsender Größe der Argumente wird die Ungenauigkeit immer größer...

Diese Näherungsformeln haben oft keine asymptotische Annäherung

https://de.wikipedia.org/wiki/Asymptote

d.h. mit mehr Termen, Iterationen, ... wird das Ergebnis nicht genauer!

(für die Gammafunktion verwenden einige gern statt der echten Reihe

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/06/02/0003/

völlig andersartige Konstrukte)

Kommentar von Genji ,

Danke für die ausführliche Antwort!

Aber was wäre denn quasi-analytisch?

Unser Prof meinte nämlich, dass das in meiner Arbeit Näherungsformeln sind und ich deshalb zu der Lösung nicht analytische Lösung sagen könne, sondern eher quasi-analytische Lösung.

Das hat mich ein bisschen verwirrt.

Kommentar von hypergerd ,

zu: "... das in meiner Arbeit Näherungsformeln sind ..."

Kannst Du sie genauer beschreiben?

Ich könnte dann sagen, ob sie zu den

a) mit mehr rechnen kann man beliebig genau werden

oder 

b) nur für einen begrenzten Argumentenbereich nur bregrenzt genau

gehören.

Wo allerdings genau die Grenze zwischen analytisch und numerisch ist, wird ein ewiges Streit-Thema unter den Menschen bleiben und es werden "Zwischen-Begriffe" wie "quasi..." erfunden.

Den Informatiker (und Praktiker) interessiert, wie man am schnellsten n (Nachkomma-)Stellen berechnen kann, und nicht, ob und was für einen Namen man der Sache gibt.

Der Lehrer will nur sehen, ob man das gelernte anwenden kann. Den interessiert selten mehr als 5 Nachkommastellen. Und wenn es einen Namen gibt, den er (oder das Schulbuch) genannt haben, will er das hören.

Antwort
von Mikkey, 41

Numerische Lösungen

Kommentar von Genji ,

Numerisch Lösungen erhält man aber soweit ich weiß aus numerischen Verfahren, mit denen die Lösung schrittweise angenähert wird

Kommentar von Mikkey ,

Dann sind das, was Du meinst keine Lösungen, sondern Abschätzungen.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 31

Näherungslösungen.

Oder Approximationslösungen.

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