Frage von Lilena124, 34

Wie weiße ich nach dass die Funktion f(x)=|2-x|-3 an der stelle x=2 NICHT differenzierbar ist?

Mathe

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ProfFrink, 25

Der strenge mathematische Nachweis gelingt über eine Grenzwertbetrachtung der Ableitungen, genauer gesagt über zwei Grenzwertbetrachtungen der Ableitungen. Du führst eine Grenzwertbetrachtung von x --> 2 einmal von links ausgehend von x-Werten x <2. Und dann noch einen Grenzwertprozess x --> 2 ausgehend von x-Werten x > 2. Natürlich ist das ein Affentanz. In dem einen Fall kommt -1 und in dem anderen Fall kommt +1 heraus. Aber die Aussage "linker Grenzwertprozess ungleich rechter Grenzwertprozess" ist schon der ganze Nachweis.


Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 14

Du musst die Betragsstriche auflösen (Fallunterscheidung)
allgemein gilt: f(x)=|x| => f(x)=x und x>=0
                                        f(x)=-x und x<0

bedeutet: für Werte innerhalb der Betragsstriche größer (oder gleich) Null, kannst Du die Striche einfach weglassen; ist der Wert innerhalb der Striche kleiner Null, musst Du beim Weglassen der Striche ein Minus davorsetzen, damit der Wert laut Definition der Betrags positiv wird.

auf Deine Aufgabe angewendet:
f(x)=|2-x|-3 => f(x)=2-x-3 = -x-1 und 2-x>=0, also x<=2
                       f(x)=-(2-x)-3 = -2+x-3= x-5 und 2-x<0, also x>2

Hier siehst Du, dass für x->2 einmal die Steigung -1 und einmal 1 ist, je nachdem aus welcher Rinchtung Du kommst.

Kommentar von Lilena124 ,

ok vielen Dank das hat mir sehr weitergeholfen :)

Antwort
von daCypher, 7

Meine Idee wäre folgende: Die Ableitung von |2-x|-3 ist x-2 / |x-2|. Wenn man für x eine 2 einsetzt kriegt man: 2-2 / |2-2| = 0/0. Da eine Division durch 0 nicht möglich ist, ist die Funktion an der Stelle nicht differenzierbar.

Antwort
von Girschdien, 19

An der Stelle, an der ein Betrag Null wird, ändert die Funktion sprunghaft ihren Anstieg. An der Stelle selbst kann man keinen Anstieg "messen". Er könnte jeden Wert zwischen "linkem" Anstieg und "rechtem" Anstieg haben. Die erste Ableitung ist sozusagen die Funktion, die den Anstieg wieder gibt. In dem Punkt, in dem der Betrag 0 wird, ist die erste Ableitung aber nicht definiert.

Kommentar von Lilena124 ,

ok danke :) und wie kann man das rechnerisch nachweisen?

Kommentar von Girschdien ,

Es gilt: 

"Wenn sich x an x0 annähert, dann muss sich f'(x) an f'(x0) annähern muss und zwar von beiden Seiten."

Also: Sei µ>0 eine reelle Zahl, f(x) die obige Funktion

Dann gilt in jedem differenzierbaren Punkt x: lim f(x-µ) (µ-->0) = lim f(x+µ) (µ-->0)

Im Fall der obigen Funktion sind die beiden Limes aber an der Stelle x=2 nicht gleich.

Also ist die Funktion im Punkt x=2 nicht differenzierbar.


Kommentar von Girschdien ,

Ah, muss heißen 

lim f'(x-µ) (µ-->0) = lim f'(x+µ) (µ-->0)

Du solltest lim f'(x-µ) (µ-->0) und lim f'(x+µ) (µ-->0) im Beweis für x=2 noch ausrechnen.

Kommentar von Lilena124 ,

ok danke :)

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