Frage von MarkMoser123, 32

Wie weise ich für (x-1/x)/2 strenge Montonie nach?

Hallo und danke schon mal allen Antwortenden :-) Ich habe die Funktion f(x)= (x-1/x)/2 gegeben und soll nachweisen, dass sie streng monoton ist.

Meine Überlegen war, dass für strenge Monotonie ja gelten muss: f(x1)<f(x2) für x1<x2

Also habe ich x1 und x2 eingesetzt und (x1-1/x1)/2 < (x2-1/x2)/2 gesetzt.

Mal 2 bekomme ich den Bruch je weg, aber wie gehts dann weiter?

Am Ende soll doch etwas dastehen wie x1 < x2 und das gilt dann natürlich nur für x1<x2.

der ist mein Ansatz schon falsch?

Danke schon mal

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 18

Dein Ansatz ist nicht falsch.

Meistens ist es einfacher, zu prüfen, ob f(x2) - f(x1) größer als 0 ist.

In diesem Fall geht es übrigens nicht: f(1) = f(-1) = 0.

Abschnittsweise Monotonie geht. Am besten, indem du alles auf einen gemeinsamen Nenner bringst, so viel wie möglich ausklammerst und zeigst, dass für x1 und x2 beide >0 (bzw. x1 und x2 beide <0) alle Faktoren bis auf einen immer positiv sind.

(Ich habe heraus:

f(x2) - f(x1) = (x2 - x1) (x1 x2 + 1) / (x1 x2)

)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 23

wenn x1<x2 gilt, dann muss f(x1)<f(x2) sein. (also andersrum)

und welche Folge? 1/2 * ( x -1/x) oder 1/2 * (x-1)/x

Antwort
von Prengel, 32

Sowas ist bei mir zwar schon lange her, aber nimm doch statt x1 und x2 mal konkrete Zahlen.

Kommentar von MarkMoser123 ,

Bringt leider nix, ich soll es allgemein zeigen

Kommentar von Prengel ,

Dann verstehe ich das so, dass du zeigen sollst, warum für jedes x2, dass größer/kleiner ist als x1, gilt, dass es streng monoton ist.

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 21

Hattet Ihr schon Ableitungen?

Kommentar von MarkMoser123 ,

Ableitungen hatten wir schon, aber ich soll das mit vom Lehrer vorgegebenen Sätzen zeigen. Es gilt ja für x1<X2 ist f(x1)< f(x2) und umgekehrt, dann ist die Funktion streng Monoton, wenn ich das richtig verstanden habe

Kommentar von KDWalther ,

Dieser Ansatz ist richtig - wenn die Funktion streng monoton ist. Ist sie das??
Da kann eine Zeichnung (per TR, PC...) weiterhelfen. Und schon kommt man zur Vermutung, dass für größere x-Werte die y-Werte sowohl größer als auch kleiner sein können, je nach Wahl der beiden x-Werte.

Dann langt es, die "Falschheit" der Monotonie-Vermutung durch geeignete Gegenbeispiele zu zeigen.
Z.B.: f(-0,5) = 1,5     f(-0,4) = 2,1 > 1,5    aber: f(0,5) = -1,5 < 1,5

Und schon brauchst Du Dich mit einem Beweis gar nicht abzumühen :-)

Für die Monotonie für x>0 (bzw.x<0) siehe PWolff.

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