Frage von dreamerdk, 49

Wie war das noch mal mit der eindeutigen Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems (quadratische Matrix)?

Ich komme noch sehr durcheinander bezüglich "Rang von Matrix"--> Anzahl Nullzeilen--> eindeutige Lösbarkeit

also ein LGS wäre ja eindeutig lösbar, wenn nach der Gauß-Umformung keine Nullzeile entsteht-->keine Variable frei wählbar

Und der Rang einer Matrix entspricht ja der Anzahl linear abhängiger Spalten bzw Zeilen.. wenn sich der Lösungsvektor nun als Linearkombination aus linear abhängigen Vektoren zusammensetzt, ist der Rang dann maximal oder minimal?

Kann mir noch mal jemand kurz die Zusammenhänge zwischen Nullzeilen-Rang und eindeutiger Lösbarkeit nennen? Ich komme da sehr durcheinander^^

Antwort
von Melvissimo, 27

Da ist wirklich etwas durcheinander geraten... Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

  • Der Rang der quadratischen Matrix ist maximal. D.h. falls A eine nxn-Matrix ist, gilt Rang(A) = n.
  • Das LGS Ax = b ist für jedes b eindeutig lösbar.
  • Die Matrix A ist invertierbar
  • Die Zeilenstufenform von A hat keine Nullzeile
  • det(A) ist nicht gleich 0.

Deine Verwirrung hat (glaube ich) mit einer falschen Definition zu tun: Der Rang einer Matrix ist definiert als die Dimension des Bildes dieser Matrix. Das ist gerade die maximale Anzahl von linear unabhängigen Spalten/Zeilen der Matrix.

Kommentar von dreamerdk ,

warum sollte es keine quadratische Matrix geben, deren Determinante 0 ist?

wie wäre es z.B. mit

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Kommentar von dreamerdk ,

sorry, ich nehme den Kommentar zurück.. es hat sich erledigt ;)

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