Frage von PcFreak000, 114

Wie viele natürliche Zahlen zwischen 100 und 200 existieren, die nur die Primfaktoren 2 und/oder 3 enthalten?

Bitte nicht direkt mit der Lösung antworten!

Ich versteht die Frage nicht so richtig, kann sie mir jemand erklären?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 54

Hallo,

in Frage kommen nur Zahlen, die Produkte von Zweier- und Dreierpotenzen sind. Dreierpotenzen zwischen 100 und 200 gibt es keine, denn 3^4=81 und 3^5=243.

Zweierpotenzen gibt es eine, nämlich 2^7=128.

Darüberhinaus können es nur noch Kombinationen von beiden sein, als da wären 2*3^4=162, 2^2*3^3=108, 2^4*3^2=144 und 2^6*3=192

Das müßten alle sein. Ich bin einfach alle Dreierpotenzen durchgegangen, die als Faktoren in Frage kommen, also 3 bis 3^4. 3^5 ist schon mehr als 200, fällt also aus. Bei der 27 sind 2mal zu wenig, 8mal zu viel, bleibt 2^2=4 usw.

Es kann ohnehin nur jeweils eine Zweierpotenz geben, die mit den jeweiligen Dreierpotenzen multipliziert werden kann, weil die nächsthöhere Zweierpotenz bereits eine Verdoppelung des Ergebnisses bedeutete. Nur das Doppelte von 100 liegt im geforderten Rahmen, 100 ist aber keine Dreierpotenz.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 39

Ich finde, dass das eine nette Übung ist, mit wolframalpha umzugehen. WolframAlpha: http://kurzelinks.de/2c42

2^x * 3^y ≥ 100
2^x * 3^y ≤ 200
x,y ∈ ℕ+

x y
---
1 4
2 3
4 2
6 1
7 0
Kommentar von Volens ,

Hau doch die Anzahl auch noch explizit ins Listing!

Nach der war ja gefragt. Denn die Zahlen wollte ja gar keiner wissen.

Dann ist es perfekt.

Kommentar von Suboptimierer ,

Da sachste was. x und y sind übrigens aus N_0.

Anzahl Kombinationen: 5 ;)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 18

Du sollst überprüfen, welche Zahlen zwischen 100 und 200 nur durch 2 oder durch 3 zu teilen gehen (durch keinen anderen Teiler)
und nur ihre Anzahl aufschreiben!

108 ist eine (2 * 2 * 3 * 3 * 3)

110 ist keine (2 * 5 * 11)   da ist zwar 2 drin, aber auch 5 und 11

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 29

Ist das wirklich eine Aufgabe aus dem Mathematikunterricht?
Schwer vorstellbar.
Oder vielleicht ein Programmierauftrag aus dem Informatikunterricht?

Antwort
von anja199003, 53

Offenbar sind alle Potenzen von 2 und von 3 gesucht, die zwischen 100 und 200 liegen. Dann noch die Produkte aus Potenzen von 2 und von 3 die zwischen 100 und 200 liegen.

Für die Potenzen von 2 sind das dann: 2^7=128,

Den Rest kannst Du selber berechnen. 

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 22

Der Iterationsrechner antwortet so auf das Produkt der 2er und 3er Potenzen:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

siehe Bild

Kommentar von hypergerd ,

Deine Frage in mathematischer Schreibweise lautet:

100 <= 2^x * 3^y <= 200

Man geht also alle x und y von 0 bis 7 (weil 2^8=256 schon zu groß)

durch ... was 2 For-Schleifen bedeutet.

Genau das tut der Iterationsrechner.

Man kann das auch noch universeller machen, da es für Primzahlen eine Funktion gibt Prime(1)=2; Prime(2)=3, also erweitern


100 <= pow(prime(aB[i],x) * pow(prime(aB[i+1],y) * ... <= 200

Oder mathematischer:

mit 3^floor(x) bekommt man keine Zahl zw. 100 und 200 hin!

floor = Abrunden

also nur  Gleichung nach y einstellen und Grenze 100 annehmen:

table floor(log(100*2^(-floor(x)))/log(3)),x=0...7

ergibt für y die Lösungen 4,3,2,2,1,1,0

nun nur noch die größte Lösung prüfen, ob nicht zu groß -> OK passt

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