Frage von WillibergiUsermod Junior, 207

Wie viele Möglichkeiten für Züge gibt es insgesamt beim Schach?

Moin,

ich belege gerade den Leistungskurs Stochastik und Kombinatorik, bin aber bei einer Aufgabe echt ratlos...

Ich soll herausfinden, wie viele Möglichkeiten es beim Schach gibt, also wie viele Möglichkeiten es gibt, bis das Spiel aus geht (also matt).

Jetzt bin ich ratlos, denn für den ersten Zug gibt es ja schon mal 24 Möglichkeiten (8 * 2 Bauernzüge und 2*2 Springerzüge). Aber je nachdem, wie ich den ersten Zug mache, gibt es ja unterschiedlich viele Möglichkeiten. Einmal kann ich mit dem Läufer 1, 2, 3, 4, 5, etc. Felder laufen, einmal mit dem König eins oder mit dem (anderen) Springer raus.

Ich bin echt vollkommen ratlos.... :S

Könnt ihr mir weiterhelfen?

Danke schon mal im Voraus.

LG Willibergi

Antwort
von YStoll, 118

1. Ein Schachspiel hört nicht nur dann auf, sobald es eine Mattsetllung gibt.
Sondern auch bei einem Remis. Dieses kann eintreten durch: ein Patt, 50 Züge ohne geschlagene Figur oder Bauernzug, eine Stellung die es so schon zwei mal zuvor gab (mit dem gleichen Spieler am Zug) oder durch Absprache der beiden Spieler.

2. Man sollte sich erst mal klar machen, wie viele Züge ein Schachspiel maximal andauern kann. Wenn es nur bei einem Matt und nicht durch ein Remis vorbei währe, könnte es unendlich lang dauern. Somit  wäre auch die Zahl an spielbaren Zugkombinationen unendlich. Das ist jedoch nicht der Fall.

Zur Berechnung der maximalen Spieldauer: Das wichtigste hierfür ist die 50-Züge Regel. Eine genaue Zahl zu finden wird mit größerem Aufwand möglich sein, allerdings kann man nach einer möglichst niedrigen Obergrenze suchen. Die Regel zur dreimal wiederholten Stellung lasse ich hierbei auch außer acht, sie könnte die Grenze evtl. senken.

Es gibt 30 "schlagbare" Figuren auf dem Feld (da Könige nicht geschlagen werden dürfen). Außerdem gibt es 16 Bauern von denen jeder maximal 7 Züge als Bauer machen kann. Somit dauert ein Schachspiel niemals länger als 50 * ( 30 + 16 * 7 + 1) = 168 000 Züge. (Die +1 braucht man, da es vor und nach dem letzten "signifikantem Ereignis" 50 Züge gegeben haben kann. Als "signifikantes Ereignis" definiere ich hier eine geschlagene Figur oder einen gezogenen Bauern. Die maximale Anzahl der signifikanten Ereignisse ist gerade 30 + 16 *7.)

Als nächstes könntest du für die Obergrenze an spielbaren Spielen betrachten, wie viele Züge ein Spieler maximal zur Verfügung haben kann.
Das sind 4 pro Bauer, 8 pro Springer, 14 pro Läufer, 14 pro Turm, 28 pro Dame und 8 für den König. Mir ist klar, dass niemals all diese Möglichkeiten auf einmal existieren können, aber es geht mir ja darum eine Obergrenze zu finden.
Jetzt könnte man natürlich sagen: "Ok, das sind dann 4 * 8 + 8 * 2 + 14 * 2 + 14 * 2 + 28 + 8 = 140" Aber ein Spieler kann mehrere Damen (und andere Figuren) haben nachdem er sie umgewandelt hat. Der " krasseste Fall" wäre also 9 Damen plus die restlichen Figuren ohne Bauern. Das kann natürlich erst nach einigen Zügen der Fall sein und würde einen Großteil der signifikanten Ereignisse "verbrauchen". Außerdem ist es dann absolut unmöglich, dass jede Dame 28 Zugmöglichkeiten hat. Somit ist das der Punkt, an dem die genauere Abschätzung deutlich schwieriger wird.

Ich mache hingegen eine extrem grobe Abschätzung, die tatsächliche Zahl sollte wesentlich tiefer liegen. So gehe ich davon aus, jeder Spieler hätte ab dem ersten Zug 9 Damen und trotzdem könne das Spiel 168 000 Züge andauern.

Ein Spieler kann maximal 28 * 8 + 8 * 2 + 14 * 2 + 14 * 2 + 28 + 8 = 332 mögliche Züge haben. Das Spiel dauert maximal 168 000 Züge. Ein Zug besteht aus einem Zug von Weiß und einem von Schwarz.
Somit gibt es maximal 332 ^ (168 000 * 2) mögliche Schachspiele. Das ist rund 2.5 * 10^847102. Also eine unglaublich große Zahl.

Das ist natürlich eine absolute Obergrenze. Alles was ich damit sagen
kann, ist, dass es nicht mehr also so viele Spiele geben kann. Die
tatsächliche Zahl liegt auf jeden Fall wesentlich tiefer (evtl. um
Größenordnungen in der Zehnerpotenz), ist aber meiner Meinung nach ohne groß
angelegte Programme unmöglich zu finden.

Wer (begründete) genauere Abschätzungen hat oder meine verbessern will möge sie gerne hervorbringen, ich wäre sehr interessiert.

Kommentar von YStoll ,

Ok, kann mir jemand sagen, woher Numberphile die maximale Zuganzahl von 11800 hernimmt und wieso Hardy trotzdem mit einer so überdimensional größeren Zahl als meiner aufgekommen ist?

Angenommen, die 11800 sei tatsächlich die maximale Anzahl an Zügen. Dann sollte es nicht mehr als 332 ^ (11800 * 2) also rund 7.2 * 10^59498 < 10^(10^4.8) Spiele geben können.

Kommentar von YStoll ,

Ok, meine Zahl zur maximalen Zuganzahl ist Schwachsinn, ich kann nicht einmal mehr nachvollziehen, wie ich sie erlangt habe. Evtl ein Tippfehler auf dem TR. Wikipedia hat mich von 11800 überzeugt.

Kommentar von YStoll ,

Und jetzt bin ich auch noch der Zug-Halbzug Unterscheidung zu Opfer gefallen. Damit wäre richtiger 332 ^ (11797) ohne die Multiplikation mit 2. Das ist rund 7.3 * 10^29741 < 10^(10^4.5).
Im Vergleich zu 10^(10^50) also nur eine "kleine" Veränderung.

Kommentar von YStoll ,

Übrigens: diese Zahl ist nur schwer mit irgendeiner Zahl die man sich im Alltag "vorstellen" könnte zu vergleichen. Wie bei Numberphile gesagt wurde, 10^80 ist ca. die Anzahl der Atome im sichtbaren Universum. 10^120 ist unvorstellbar viel größer. Ich rede von 10^29741.
Was nicht "so gut wie unendlich" ist!

Mathematiker schlagen sich teilweise mit ganz anderen Zahlen rum. Siehe beispielsweise "Grahams Number", findet man u.a. auch bei Numberphile auf Youtube.

Die Zahlen, von denen wir hier reden sind wenigstens noch als Zehenerpotenzen darstellbar, oder wenigstens als Potentzturm.
Beschäftigt man sich mit Hyperoperatoren oder der Pfeilschreibweise sind solche Zahlen gar nichts.

Antwort
von kepfIe, 103

Das kann man absolut nich genau rausbekommen. Für den ersten Zug kann man noch sagen, dass es 20 Züge für Weiß gibt, dann hat man schon nachdem Schwarz gezogen hat 400 Spiele, und ab da wirds unnötig kompliziert.  

Es gibt n Numberphile-Video in dem das thematisiert wird.  

Antwort
von user213212, 84

es ist unmoeglich dass du dies alleine herausfindest. Es gibt bereits 318 Millionen Moeglichkeiten im vierten Zug des Spieles und laut Wikipedia 10^120 bis das Spiel vorbei geht. 

Kommentar von user213212 ,

uebrigens gibt es mehr Moeglichkeiten im Verlauf eines Schachspieles als bekannte Atome im Weltall vorhanden sind. http://chess.stackexchange.com/questions/8331/is-the-number-of-possible-chess-ga... 

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