Frage von StudentHN, 58

Wie viele Lösungen kann ein Gleichungssystem haben?

Hallo liebes Forum,

ich habe x + y = 1 und x + a^2 * y = a

a Element R

Mein Vorschlag: 1. Gleichung, a ist keine variable der gleichung, daher keine lösung.

bei b) wenn ich für a=2 einsetze kann ich mit der pq formel ausrechnen???

Danke

Marc

Antwort
von Schilduin, 27

Es ist ein Gleichungssystem. Alleine haben die Gleichungen jeweils unendlich viele Lösungen. Aber es geht darum, die Lösung zu finden, welche beide Gleichungen löst. Diese kann auch in Abhängigkeit von a sein.
Es kann der Fall eintreten, dass es gar keine oder unendlich viele Lösungen gibt, das erkennt man aber nicht an einer Gleichung allein.
Zur Vorgehensweise:
Du versuchst, eine Variable (entweder x oder y, a ist nur ein Parameter) zu eliminieren. Das machst du entweder mit dem Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, oder Additionsverfahren. Dazu findest du viele gute Erklärungen im Internet, auch auf YouTube.
Somit erhältst du eine Gleichung mit nur einer Variablen. Nach dieser kannst du die Gleichung auflösen, das Ergebnis kann in Abhängigkeit von a sein. Dieses Ergebnis setzt du in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und löst nach der anderen Variable auf.

Antwort
von raphi0901, 35

ein Gleichungssystem kann entweder unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung haben.

Kommentar von kindgottes92 ,

Bei quadratischen Gleichungen kann es auch zwei haben. Bei höherwertigen Gleichungen entsprechend mehr.

Antwort
von lersehu1, 35

x + y = 1
x + a^2y = a
--------------
((a^2)-1)y = a-1

Wenn a=1, dann unendlich viele Lösungen für x und y.
Wenn a!=1, dann genau eine Lösung.

Kommentar von lersehu1 ,

Achja und bei a=-1 gibt es keine Lösung, weil dann ein Widerspruch besteht.

Kommentar von StudentHN ,

nach welchem verfahren hast du das gelöst?

Kommentar von lersehu1 ,

Algorithmus von Gauß.

man versucht Parameter (hier x) zu eliminieren indem man entweder Zeilen vertauscht, das n fache einer Zeile zu einer anderen addiert oder eine Zeile mit n multipliziert, wobei n hier wahrscheinlich eine reelle Zahl ist. Ich habe zur zweiten Zeile das -1 fache der ersten Zeile addiert.

Kommentar von StudentHN ,

verstanden. aber wie behandel ich a ^2, weil ich kann es nur mit linearen lösen

Kommentar von lersehu1 ,

a^2 ist einfach ein Faktor und a müsste zur Bestimmung der Lösungsmenge vorher fest gewählt werden. (siehe deine Aufgabe b wo a=2 ist)

Kommentar von StudentHN ,

okay man darf aber nur adieren oder multiplizieren. aber eben nicht subrahieren richtig?

Kommentar von StudentHN ,

Bei dieser aufgabe ist es demnach so, dass für a=1 genau eine lösung gibt. 

Kommentar von lersehu1 ,

doch, eine Subtraktion ist praktisch eine Addition wobei du einen Summanden mit -1 multiplizierst.

a-b = a+ (-1)*b

3-4 = 3+ (-4)

Hattet ihr den Gauß denn noch nicht in der Schule^^?

Kommentar von lersehu1 ,

Wenn a=1 , dann

((a^2)-1)y = a-1
((1^2)-1)y = 1-1
(1-1)y = 1-1
0y = 0

folglich ist y beliebig und dann ist auch x beliebig

Kommentar von StudentHN ,

leider nicht. im gymnasium hatten wir das nicht behandelt

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