Wie viele Dimensionen gibt es in der angewandten Mathematik?

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7 Antworten

Alles in {0;1;2;…;ℵ₀} sowie Bruchdimensionen. Angewandte Mathematik heißt ja schließlich (reine) Mathematik, die eine Anwendung findet. In der Mechanik, je nach Freiheitsgrad hast du beliebig viele Dimensionen. In der Kommunikationslehre muss man mit einem ganzen (separablen) Hilbertraum von L²-messbaren Funktionen umgehen (dim=ℵ₀); Ähnliches in der Physik mit Wellenfunktionen—die Dimension der Raum der Wellenfkt ist ℵ₀. Information, biologische und geologische Phänomene können bruchdimensional sein (wenn du Lust hast, lies das Buch Chaos von James Gleick). Also… ehrlich gesagt gibt es für jede Dimension d ∈ [0;∞)∪{ℵ₀} Phänomene in der Welt, die eine d-dimensionale Darstellung gut beschreiben.

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Kommentar von kreisfoermig
21.10.2016, 09:12

Außerdem kommt es auf die Art von Dim, die du meinst—ob geometrische (dafür gibts mehrere konkurrierende Konzepte), oder informationstheoretisch (im Sinne von Freiheitsgraden, Grad der Unabhängigkeit, usw.), oder etwas anderes.

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In der Variationsrechnung und anderen Teilgebieten hat man es mit unendlichdimensionalen (Funktionen-)Räumen zu tun.

Bei der Rechnung mit komplexen Zahlen regelmäßig mit 2 (z. B. bei der Berechnung der Strömung um Tragflächen)

Dreidimensionalität dürfte klar sein

In der speziellen Relativitätstheorie haben wir 4 Dimensionen (3 raumartige und 1 zeitartige)

Bei der Behandlung linearer Gleichungssysteme hängt die Dimension der Vektorräume von der Anzahl der Gleichungen und der Anzahl der unbekannten Variablen ab - wir haben hier im Prinzip jede natürliche Zahl vorliegen

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So viele du willst. In der Mathematik sind irgenwelche Räume mit beliebig oder auch unendlich vielen Dimensionen etwas ganz alltägliches.

Du kennst doch sicher den zwei- oder dreidimensionalen euklidischen Raum. Die Begriffe, die man hat - Länge und Winkel - auf n Dimensionen (mit n > 3) zu übertragen ist geradezu trivial.

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Kommentar von Raskolnikow21
20.10.2016, 23:56

Falls du konkrete Beispiele willst:

In der
klassischen Physik beschreibt man seine Systeme z.B. als Punkte im sog.
Phasenraum, welcher bei entsprechend hoher Zahl von Teilchen /
Freiheitsgraden eine Dimension N >> 3 hat. In der statistischen
Physik kann es, um Zustandssummen zu berechnen daher z.B. notwendig
sein, das Volumen einer n-dimensinalen Kugel zu berechnen. (fun fact:
das Volumen der Einheitskugel nimmt bis zur Dimension fünf zu, dann
nimmt es ab.)

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Es gibt keine Obergrenze.

Die Physik kennt natürlich den »Ortsraum«

Span({x; y; z}) = ⟨{x₁; x₂; x₃}⟩,

den entsprechenden »Impulsraum«

⟨{p.x; p.y; p.z}⟩ = ⟨{p₁; p₂; p₃}⟩,

die sich zu einem 6-dimensionalen Phasenraum zusammenfassen. Systeme können allerdings auch als ein einzelner Punkt in einem 6N-dimensionalen Phasenraum dargestellt werden.

Außerdem kennt sie die Raumzeit

⟨{ct; -x; -y; -z}⟩ = ⟨{x₀; x₁; x₂; x₃}⟩.

Die Physik kennt aber auch höherdimensionale Räume einschließlich unendlich-dimensionaler, etwa solcher, deren Vektoren Funktionen sind, etwa die quantenmechanische Wellenfunktion ψ.

Desweiteren gibt es auch in anderen Bereichen, etwa beim Data-Mining, multidimensionale Probleme, auch wenn hier keine Drehung oder dergleichen sinnvoll ist, da die »Dimensionen« in vielen Fällen völlig verschiedene Attribute sind, von denen einige nicht einmal numerisch, sondern ordinal oder gar nominal bzw. kategorial sind.

Was man freilich ändern kann. Aus einem Attribut, die z.B. 4 Kategorien enthält, kann man beispielsweise 4 Attribute machen, die die Werte 0 und 1 annehmen können, wobei in einem Datensatz (»Vektor«) genau eines von ihnen 1 sein kann. 

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3, vielleicht auch irgendwann mehr. Ich kenne mich zwar absolut nicht mit höherer Physik aus, aber vielleicht ist es ja möglich einen Kontext zwischen den verschiedenen Dimensionen zu finden. Sodass beispielsweise "Tricks" aus der dritten Dimension für beispielsweise Raumfahrt gewonnen werden können, die in die 4 Dimension überführen. Aber nur Spekulation.

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Kommentar von Viktor1
21.10.2016, 01:17
die 4 Dimension überführen. Aber nur Spekulation

immer Fragen richtig lesen. Es wurde nach "Dimensionen" in der Mathematik gefragt und diese sind theoretisch dort nicht begrenzt

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Kommentar von segler1968
21.10.2016, 02:02

Gerade in der Physik haben wir ständig mit mehr als 4 Dimensionen zu tun. Schon für die Angabe von Wind brauchst Du  6 Dimensionen: drei für den Ort, zwei für die Richtung am Ort, eine für die Stärke

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so viele wie man braucht

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In Mathe wird mit "Räumen" höheren Grades (4. ; 5.) "gehandelt"! Für mich Begriffsverirrungen, denn wir kennen nur den Raum mit 3 Dimensionen. Die Zeit als 4. Dimension zu handeln ist genau so abartig, da Zeit eine andere Größe als das Volumen (Raum) ist und man nur gleichartige Größen bzw. Objekte vergleichen kann!

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