Bei mir schimmeln sie sehr schnell, womit hat das zu tun. Gibt es eine Art der Aufbewahrung, bei der sich die Zitrusfrüchte länger halten?
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Lass sie einfach draußen liegen, mit der Schnittfläche nach oben. Das trocknet dann ca. 1-2 mm ein, was man leicht wieder abschneiden kann und den Rest der Zitrone verwenden. Ca 1 Woche noch verwendbar. Hängt aber wahrscheinlich auch von der Luftfeuchigkeit in der Küche ab.

Tupperware,Alufolie oder Folie,wenn das nicht hilft,aufessen
Ich packe sie ganz fest uin Frischhaltefolie ein und so hält sie sich meist auch eine Woche im Kühlschrank. Merke: Alufolie lässt Luft durch!

Es kommt darauf an wofür du sie verwendest. Wenn du nur ein paar Spritzer brauchst, dann stich ein Loch mit einem Zahnstocher hinein. Das Loch verschließt sich dann wieder und die Zitrone hält länger. Benötigst du sie z.B. für Tee,dann kannst du sie mit der Schnittfläche nach unten auf einen keinen Teller mit ein wenig Zucker legen.

Ich brauche oft Limetten. Den Rest hebe ich dann in einem kleinen Marmeladenglas mit Schraubdeckel im Kühlschrank auf. Das hält mindestens eine Woche.
Aber die Idee von @Luise ist auch gut!
wenn es in deinem Kühlschrank schnell schimmelt, dann ist das ein sicheres Zeichen dafür dass die Keimbelastung bzw. die Schimmelpilzdichte in deinem Kühlschrank hoch ist. Lösung: Ausräumen, mit Spülmittel putzen und evtl. mit verdünnter Essigessenz nachwischen. Alle Behälter ebenfalls reinigen (Spülmaschine wenns geht). Unverpacktes möglichst aufbrauchen um Neuinfektionen zu vermindern. Hier gibt es eine Erfindung die Lebensmittel im Kühlschrank länger haltbar macht: http://www.mdr.de/einfach-genial/5389684.html
Zum deiner Frage nach der Zitrone: wenn es dir um den Saft geht empfehle ich: Auspressen und in einem kleinen verschließbaren Glasfläschchen aufbewahren. Dann hält der Saft recht lange.

Die Zitronen die schon Schimmel haben, sollst du wegschmeissen. Die neuen nicht lange lagern in gut belüfteten Gefässen, aber nicht in denselben wo die mit Schimmel waren bevor du die gut gewaschen hast.

Bei der nächsten Zitrone,nicht aufschneiden,sondern mit einer Gabel Löcher reinstechen und solange drücken,bis du genug Saft hast,Rest läßt sich nun Problemlos aufbewahren.