Frage von Roach5, 65

Wie verhält sich die Dimension des Randes eines Raumes zur Dimension des Raumes?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von iokii, 30

Es gibt doch sicherlich Mengen, die nur aus Rand bestehen, für solche ist die Aussage falsch.

Kommentar von Roach5 ,

Stimmt, das sind die trivialen Gegenbeispiele mit Dimensionsgleichheit.

Fällt dir etwas in die andere Richtung ein, also einen Raum von Dimension n, deren Rand Dimension n-2 hat?

Kommentar von iokii ,

Mit Topologie kenn ich mich leider nicht allzu sehr aus.

Kommentar von iokii ,

Vielleicht im R^3 die Menge aller Kugelhüllen mit Radius 1/n, also {(x,y,z)|x²+y²+z²=1/n , n€ natürlichen Zahlen}. Das ist dann doch eine 2-Dimensionale Menge, deren Rand aber nur aus dem Nullpunkt, also einer 0-Dimensionalen Menge besteht.

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Hängt vom verwendeten Dimensionsbegriff und von der Art des betrachteten Raumes ab.

Bei den "induktiven" Dimensionsbegriffen ist das trivial, weil die über die Dimension des Randes induktiv definiert werden.

Für andere Dimensionsbegriffe (insbesondere für die von dir genannte Überdeckungsdimension):

https://de.wikipedia.org/wiki/Induktive_Dimension#Vergleiche

Antwort
von Roach5, 46

So, hier die Frage, die hatte ich vergessen:

Wenn eine Mannigfaltigkeit mit Rand Dimension n hat, so hat deren Rand Dimension n-1.

Diese Aussage würde ich gerne verallgemeinern mittels der Überdeckungsdimension. Wenn also X ein topologischer Teilraum von Y ist, und X topologische Dimension n hat sowie in Y geschlossen ist, so hat der Rand von X Überdeckungsdimension n-1.

Dieser Satz sieht intuitiv wahr aus, aber im Internet finde ich diesen Satz nirgendwo erwähnt, also muss es wohl ein einfaches Gegenbeispiel geben.

Irgendwer eine Idee?

LG

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