Frage von EtBap, 37

Wie vereinfacht man -x^2 + 4x +5 zu dem Term -(x+1)*(x-5)?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 9

Der erste Verdacht ist immer gegeben, wenn man das Absolutglied betrachtet und dessen Teiler anguckt. Hier z.B. fällt auf,
dass 1 * 5 = 5 und 5 - 1 = 4 ist.
Diese Kombination verweist auf den Mathematiker Vieta, dessen Satz besagt:

(x + a) (x + b) = x² + (a+b)x + ab

Man muss dann nur noch die richtige Kombination von a und b herausbekommen. Hier muss man sowieso in zwei Schritten vorgehen und das Minus vorher ausklammern.

-x^2 + 4x + 5 = - (x² - 4x - 5)

Nach dem Satz gilt in der Klammer     a+b = -4       ab = -5

Nehme ich jetzt (Einschätzungsfrage)  a = 1 und b = -5 ,
bekomme ich 1 - 5 = -4       und 1 * (-5) = -5

Dann weiß ich also, dass ich richtig liege mit
-(x + 1)(x - 5)

Antwort
von Melvissimo, 17

Zum Beispiel kannst du die Nullstellen von -x² + 4x + 5 herausfinden. Wenn n und m diese Nullstellen sind, lässt sich der Term umschreiben in die Form

-x² + 4x + 5 = a(x - n)(x - m). 

Durch Koeffizientenvergleich findet man heraus, dass a = -1 sein muss (allgemeiner: a ist der Koeffizient vom x²).

Kommentar von EtBap ,

Klasse vielen Dank! Aber wie komme ich auf die Nullstellen?

Kommentar von Melvissimo ,

Zum Beispiel mit der pq-Formel kannst du die Nullstellen berechnen:

-x²+ 4x + 5 = 0 | Multipliziere mit (-1)

x² - 4x - 5 = 0 | pq-Formel

x = -1 oder x = 5.

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