Frage von Kakuja, 18

Wie verändert sich der Werte/Definitionsbereich beimVerschieben einer Potenzfunktion?

Hallo!
Also ich hab gerade angefangen für eine anstehende Mathearbeit zu lernen und verstehe nicht, wie genau man auf den Definitions- und Wertebereich einer gezeichneten Potenz kommt.
Wenn z.B. die Potenzgleichung f(x)=x^3 ist dann wäre ja W>\=R und D=R aber wie sähe es dann mit f(x)=(x-1)^3 aus? Und wie steht es mit den anderen Fällen (also z.B. x^-3; x^4; x^-4)?
Ich hoffe ich hab meine Frage verständlich formuliert und ihr könnt mir helfen ^~^

Antwort
von Tannibi, 12

Bei den positiven Exponenten ändert sich nichts,
bei den negativen ist die Funktion an Stellen nicht definiert,
wo die Mantisse 0 wird, weil z. B.

x^-3 = 1/(x^3)

und da würde für x = 0 Null im Nenner stehen.

Kommentar von Tannibi ,

Update: 0^0 sollte auch nicht entstehen; der Wert ist soviel ich weiß
umstritten.

Antwort
von poseidon42, 8

Betrachte Polynomfunktionen der Form:

f(x) = sum(p(i,x)*a(i))

mit  den Monomen  p(i,x) = x^i   und den Koeffizienten a(i)

Sei f(x) ein Polynom vom Grad n und i >= 0 , sowie a(n) ungleich 0, so folgt für den Definitionsbereich D:

D = IR

Für den Wertebereich gilt:

Fall 1: n ist ungerade

--> W = IR

Fall 2 : n ist gerade 

Fall 2.1: a(n) > 0

--> W = [ Min(f) , + inf)

Fall 2.2: a(n) < 0

--> W = (- inf, Max(f) ]

Für den Fall, dass n = 0 folgt sogar:

W = a(n) = a(0)


Betrachten wir nun Funktionen der Form:

h(x) = f(x)/g(x)   wobei  f(x) und  g(x) Polynomfunktionen

So folgt für den Defintionsbereich:

D = IR\{ x aus IR : g(x) = 0 }

Für den Wertebereich lassen sich jedoch nicht so einfach allgemeine Aussagen treffen. Es kommt auf die Art der Polstellen an, sowie wie sich die Funktion für x gegen +/- inf verhält.


Bezüglich deiner genannten Beispiele:

Sei f(x) = x^3   so folgt  f(-x) = - f(x)

und da f(x) für x gegen + unendlich unbeschränkt wächst folgt, dass gilt:

D = IR   und   W = IR


Sei nun f(x) = x^2 + 1

so folgt f(x) >= 1   , da x^2 >= 0

und da f unbeschränkt wächst folgt

--> D = IR  und  W = [0, +inf )


Sei nun f(x) = 1/(x - 1)^3

--> Polstelle bei x = 1

für x < 1 und nahe 1 folgt f(x) < 0

für x > 1 und nahe 1 folgt f(x) > 0

--> Pol mit Vorzeichenwechsel

Für x gegen +/- inf folgt f(x) -> 0

Damit folgt also:

D = IR\{ 1 }   und   W = IR


Sei nun f(x) = 1/(x - 1)^2

--> Polstelle bei 1

für x < 1 und nahe 1 folgt f(x) > 0

für x > 1 und nahe 1 folgt f(x) > 0

--> Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

mit f(x) = 1/(x - 1)^2   > 0

Damit folgt also:

D = IR\{ 1 }   und  W = (0, +inf)

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