Frage von OldSkoolHipHop, 67

Wie stellt man die trigonometrische Form eines Terms dar?

Leute. Eine Freundin von mir hat sich mit ihren Mathematikhausaufgaben an mich gewendet, doch ich versage und mir bedürft es nach einer Lösung, da ich das können müsste.

Ich habe gegeben die trigonometrische Form der komplexen Zahl z: z = cos(alpha) * i sin(beta)

Was mich nun verwirrt: Ich soll z^n + 1/z^n und das gleiche mit einem "Minus" statt dem "Plus" in der vereinfachten trigonometrischen Form darstellen. Ich frage mich, wieso in diesem Term keine imaginäre Zahl i enthalten ist. Beträge und Winkel sind doch da die Standardaufgaben oder irre ich mich?

Ich würde mich um Rat freuen. Das Internet hat mir bis jetzt nicht weiterhelfen können!

Antwort
von Roach5, 22

Also z = Cos(alpha) + i Sin(Alpha), es sollte derselbe Winkel sein.

Wenn du "z^n + 1/z^n" darstellen sollst, dann schreibst du natürlich nicht "z^n + 1/z^n" hin, sondern das ganze in trigonometrischer Form wie oben.

Aus dem Satz von de Moivre wissen wir, dass z^n = Cos(n Alpha) + i Sin(n Alpha) und 1/z^n = z^(-n) = Cos(-n Alpha) + i Sin(-n Alpha) = Cos(n Alpha) - i Sin(n Alpha), die letzte Umformung können wir machen, da der Cosinus achsensymmetrisch und der Sinus punktsymmetrisch ist.

Daraus folgt dann:

z^n + 1/z^n = 2 Cos(n Alpha) [der Sinusterm hebt sich auf]

und:

z^n - 1/z^n = 2 i Sin(n Alpha) [der Cosinusterm hebt sich auf].

LG

Kommentar von ProfFrink ,

Hier ist alles richtig!

Antwort
von kepfIe, 44

z ist einfach ne normale komplexe Zahl. z=a+bi. Oder ist das einfach das was du gegeben hast? z=cos(alpha)*isin(beta)

Kommentar von OldSkoolHipHop ,

das weiß ich. aber wie bringt mich das weiter?

die lösung ist ja wohl nicht

z = z^n + 1/z^n * i

oder etwa doch? das wäre doch hirnvebrannt...

Kommentar von OldSkoolHipHop ,

naja ich habe gegeben

z = cos(alpha) + sin(beta) * i 

und weiter steht dort nur "stellen sie z^n + 1/z^n in der vereinfachten trigonometrischen form dar, sowie z^n - 1/z^n.

Kommentar von kepfIe ,

Sicher das da verschiedene Winkel sind? Ich glaub das sollte nich so sein. Ansonsten is das umformen. z = cos(alpha) + isin(beta), das gilt dann auch für z^n+1/z^n und z^n-1/z^n. Da rumrechnen, bis am Ende eben diese vereinfachte Form da steht.

Kommentar von OldSkoolHipHop ,

nein. gleiche winkel natürlich. du hast recht. konzentrationsfehler.

wie meinst du umrechnen bis am ende diese vereinfachte form da steht? könntest du die erste zeile eventuell vorgeben, oder irgendwie genauer erläutern?

Kommentar von kepfIe ,

Ich komm grad auf nix was Sinn macht. Wenn ich was hab meld ich mich nochmal-

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