Frage von nordin, 68

Wie soll man diese Textaufgabe ausrechnen, ich kriege immer eine andere lösung als sonst?

At the beginning of every month, Maggie invest 150 dollars in an account that pays 6% annual rate. How much money will there be in the account after six years?

Danke für jede Rationale Antwort!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

Hallo,

das Ganze stellt eine geometrische Folge dar.

Die ersten 150 $ liegen insgesamt 72 Monate auf der Bank, bringen also insgesamt 72*0,5 % Zinsen (plus Zinseszinsen)

Die zweiten 150 $ liegen 71 Monate auf der Bank und bringen 71*0,5 % Zinsen plus Zinseszinsen.

Das geht so weiter bis zu den letzten 150 $, die noch einmal 0,5 % Zinsen plus Zinseszinsen bringen.

Von vorn nach hinten lautet die Folge also: 

150*1,005+150*1,005²+...+150*1,005^72

Wenn Du die 150 ausklammerst, bekommst Du:

150*(1,005+1,005²+...+1,005^72)

Wenn Du den Term in der Klammer mit 1,005 multiplizierst, bekommst Du eine ganz ähnliche Folge, nur daß sie bei 1,005² beginnt und bei 1,005^73 endet.

Ziehst Du diese Folge von der ersten ab, heben sich alle Glieder von 1,005² bis 1,005^72 auf.

Übrig bleibt der Ausdruck 1,005-1,005^73 oder 1,005*(1-1,005^72)

Dies ist das Ergebnis der Rechnung sn-1,005*sn=sn*(1-1,005)

sn ist also [1,005*(1-1,005^72)]/(1-1,005)=86,8409

Das ist der Faktor, mit dem Du die 150 $ multiplizieren mußt, um auf die Endsumme zu kommen:

150*86,8409=13026,14

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Comment0815 ,

Aha, das sieht gut aus. Also wird die jährliche Zinsrate doch monatlich berechnet.

Kommentar von Willy1729 ,

Sieht so aus, ja.

Kommentar von Comment0815 ,

Was mich noch irritiert ist, dass mit deiner Lösung weniger rauskommt als bei mir. Da häufiger verzinst wird und dadurch mehr Zinseszinsen anfallen müsste dein Betrag doch höher sein, oder nicht?

Kommentar von Willy1729 ,

Meine Rechnung berücksichtigt die unterschiedlichen Zeiten, in denen die einzelnen Beträge eingezahlt werden. Im Laufe des Jahres kommen die 1800 $ erst nach und nach zusammen, so daß sie nicht voll verzinst werden können.

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von TheAllisons, 12

Übersetze das Ganze in Deutsch, dann nimmst du eine Taschenrechner, das ist doch ganz leicht auszurechnen.

Kommentar von Xenomus ,

Wie jetzt?Ich dachte das hier ist ne Website auf dem man seine Hausaufgaben machen lassen kann und andere Leute ihr Gehirn für dich benutzen weil du grade wichtigeres zutun hast*Sarkasmus off*

Kommentar von nordin ,

Falsch, ich habe die lösung parat, nur weis ich nicht wie man darauf gekommen ist. Hier ist die Lösung: There will be £13 026.14 in her account after six years.

Antwort
von DanielDuHu, 15

Du musst die Zinsen verzinsen

Antwort
von DanielDuHu, 9

Heisst,
1.Jahr: Summe x+x%
2.  Jahr:(Summex+x%)+x%
Usw

Antwort
von anja199003, 6

Nach meiner Rechnung gibt es insgesamt 13.308 Dollar und 91 Cent

Kommentar von nordin ,

Falsch, nach dem Buch :There will be £13 026.14 in her account after six years.

Kommentar von anja199003 ,

Na, wenn die das noch in Pfund umrechnen mag's ja stimmen. 

Kommentar von Comment0815 ,

Nein, an der Umrechnung liegt es wohl nicht. Ich hab mal einen Währungsrechner bemüht und komme für die 13308,91 $ auf etwas über 10000 Pfund.

Ich schätze, dass der Fragensteller die beiden Symbole verwechselt hat.

Antwort
von Comment0815, 11

Den Anfangsbetrag nenne ich mal a, den Betrag nach einem Jahr a', nach 2 Jahren a'' u.s.w.:

a = 150 $
a' = a+a*6% = a *(1+0,06) = a * 1,06
a'' = a'+a'*6% = a * 1,06 + a*1,06 * 0,06 = a*1,06*(1+0,06) = a*1,06²
u.s.w.

Wie sieht dann wohl a'''''' (also nach 6 Jahren aus?). Ich nenn das jetzt mal a(6).

Jetzt musst du nur noch in a(6)=... dein a einsetzen, und fertig.

Deine Lösung kommt mir allerdings sehr komisch vor. Wie soll bei 6% Zinsen aus 150 $ in sechs Jahren mehr als 13000 $ (oder auch Pfund) werden?

Nachtrag: Sorry, ich hab nicht gemerkt, dass monatlich eingezahlt wird.

Kommentar von Comment0815 ,

Also dann nochmal. Da jährlich verzinst wird macht es keinen Unterschied, ob monatlich 150 $ eingezahlt werden, oder jährlich 1800 $. Darum rechnen wir jetzt mit jährlich 1800 $.

Die ersten 1800 $ werden wie oben berechnet 6 mal verzinst (nämlich jedes Jahr). Die zweiten 1800 $ werden 5 mal verzinst u.s.w. Am Ende musst du einfach alle einzeln verzinsten Beträge addieren. Wir rechnen also, als würde jedes Jahr auf ein neues Konto eingezahlt und nicht immer auf das gleiche.

Gesamtbetrag=1800$ * (1,06^6+1,06^5+1,06^4+1,06³+1,06²+1,06)
 = 13308,91 $.

Da ich nicht der einzige bin, der auf diesen Betrag kommt gehe ich davon aus, dass es stimmt und deine Musterlösung falsch ist. Aber ich lasse mich auch gerne korrigieren, wenn in meinem Rechenweg ein Fehler ist.

Kommentar von Comment0815 ,

Da jährlich verzinst wird macht es keinen Unterschied, ob monatlich 150 $ eingezahlt werden, oder jährlich 1800 $.

Nachdem ich mir Willy1729s Lösung angeschaut habe wird mir plötzlich klar, dass es in diesem Fall doch einen Unterschied macht. Wenn man nämlich davon ausgeht, dass die jährliche Rate monatlich aufgeteilt und verzinst wird scheint die richtige Lösung rauszukommen.

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