Frage von MikeRatlos, 38

Wie soll ich diese goniometrische Gleichung lösen?

Ich muss die Nullstellen folgender Funktion im Folgenden Intervall berechnen. Die gerundeten Lösungen habe ich sie sind: x1=1,792; x2=4,486 in den Lösungen des Übungsbuches steht das es mit der Formel für cos(2x), trig. Pythagoras, Substitution geht. Jedoch komme ich wenn ich das mache auf andere Ergebnisse. (Ich habe im Bogenmaß gerechnet wie es sein muss) f(x)=4cos(x)-cos(2x) |((−π)/(4))≤x≤2*π

Danke an alle die mir das erklären können

Antwort
von Funkbueffel, 9

Du verwendest cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), für a=b also:

cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x)

Dann, mit cos^2(x)+sin^2(x) = 1 :

cos(2x) = 2cos^2(x)-1

Dann substituierst Du: y = cos(x). Da steht dann die quadrat. Gleichung

-2y^2+4y+1 = 0

Die löst du, da kommt raus y = 1-sqrt(3/2) = -0.22474487139

Also ist cos(x) = -0.22474487139, und x = arccos(-0.22474487139)

Wegen der Vieldeutigkeit des Arcuscosinus ergeben sich im gesuchten Intervall die beiden Werte 1.79747753 (das ist das was der Taschenrechner direkt ausgibt) , und 2Pi - 1.79747753  = 4.48570777718.

Also sind die zwei möglichen x im gesuchten Intervall:

x1= 1.79747753 und x2 = 4.48570777718

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