Wie soll ich beweisen dass f(x)=(x-7) / (x-3) > g(x)=(x+3) / (x+5) ist zwischen den Polstellen -5 ; 3 und kleiner hinter der Polstelle 3?

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3 Antworten

Hallo,

bilde doch einfach f(x)-g(x):

(x-7)/(x-3)-(x+3)/(x+5)

Alles auf den Hauptnenner ((x-3)*(x+5) bringen:

[(x-7)*(x+5)-(x+3)*(x-3)]/[(x-3)*(x+5)]

=(x²-2x-35-x²+9)/[(x-3)*(x+5)]

=(-2x-26)/[(x-3)*(x+5)]

Nun sieh, was für -5<x<3 im Zähler geschieht:

Der Zähler bleibt in diesem Bereich auf jeden Fall negativ, denn -2x wird für x zwischen -5 und 3 auf keinen Fall größer oder gleich 26, das wäre erst bei x=-13 oder kleiner der Fall.

Der Nenner hat Nullstellen bei -5 und 3. Zwischen den Nullstellen ändert sich das Vorzeichen nicht.

Setzen wir für x also zum Beispiel eine 0 ein, bekommen wir für den Zähler ebenfalls eine negative Zahl, nämlich -15 heraus.

Da im Bereich zwischen x=-5 und x=3 sowohl Zähler als auch Nenner negativ sind, ist das Ganze positiv, denn minus durch minus ergibt plus.

Im Bereich zwischen den Polstellen ist f(x)-g(x) positiv, ws bedeutet, daß 
f(x)>g(x).

Was für x>3 passiert, kannst Du ja selbst überlegen.

Nur soviel: Im Nenner wird hinter der Nullstelle auf jeden Fall das Vorzeichen gewechselt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Eiskorn93
23.10.2016, 21:50

Danke !!!

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Betrachte die Ungleichung:

(x - 7)/(x - 3) > (x + 3)/(x + 5)

Für   -5 < x < 3 folgt:

--> x - 3 < 0

--> x + 5 > 0

Damit erhalten wir durch Multiplikation mit den beiden Nennern:

(x - 7)*(x + 5) < (x + 3)*(x - 3)

Wir schreiben aus:

x² - 2x - 35 < x² - 9   II - x² + 2x + 9

-26 < 2x    II *0,5

-13 < x    und da gilt      -5 < x < 3

ist diese Aussage also wahr für das Intervall (-5, 3).

Für x > 3 folgt:

--> (x - 3) > 0 

--> (x + 5) > 0

Damit erhalten wir durch Multiplikation mit den beiden Nennern:

(x - 7)*(x + 5) > (x + 3)*(x - 3)

Ausmultiplizieren liefert uns dann:

x²- 2x - 35 > x² - 9  II -x² + 2x + 9

-26 > 2x  II *0,5

-13 > x     da aber x > 3 > -13  gilt, ist diese Aussage nicht für x > 3 wahr.

Da wir jedoch lediglich mit positiven Zahlen Multipliziert und Zahlen addiert bzw subtrahiert haben, liefert uns hier die Umkehrung des " > " eine wahre Aussage und wir erhalten dann:

(x - 7)*(x + 5) <  (x + 3)*(x - 3)  ---->  x > -13  

Damit ist die neue Aussage wahr und damit gilt:

f(x) > g(x)  auf dem Intervall (-5, 3)

f(x) < g(x) auf dem Intervall (3, +inf)

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Kommentar von Eiskorn93
23.10.2016, 21:48

Vielen Dank. ich bin froh dass es solche guten Menschen wie dich gibt. Ich hätte das niemals rausbekommen

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sollst du das beweisen oder nur zeigen?

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Kommentar von Eiskorn93
23.10.2016, 21:42

zeigen dass es so ist.

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