WIE SOLL DAS GEHEN (Mathe - Optimierung)?

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4 Antworten

Du baust dir eine Formel für das Volumen des Zylinders in Abhängigkeit des Radius. Denk dir die Kugel als Kreis und der Durchmesser des Zylinders kann sich nur auf der Kreisbahn bewegen. Also das Maximum für den Durchmesser wäre 12 cm und das Minium 0 cm.

Also ein V(r) wobei (r) der Radius ist bei dem du oben und unten abschneidest. Dann die erste und zweite Ableitung V'(r) und V''(r). Dann suchst du den Radius für den gilt V'(r) = 0, V''(r) < 0.

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Also ich würd einfach mal einen Querschnitt von dem Ganze betrachten, um genau zu sein das obere rechte Viertel.
Dann hast du da ein Rechteck innerhalb des Viertelkreises.
Zeichne mal die Radiuslinie zu dem Punkt hin ein, , an dem sich Rechteck und Viertelkreis berühren.
Du wirst feststellen dass sich da 2 rechtwibklige Dreiecke gebildet haben:
Die Längen in dem Dreieck sind:
Radius r, der bekannt ist; Radius r_2 des des Zylinders.
Und die halbe (!) Höhe h_2 des Zylinders.

nun gibts den Satz des Pythagoras, der dir liefert:
(r_2)^2+(h_2)^2=r^2

Lösen wir das mal nach h_2 auf.
Dann erhälst du eine Funktion von h_2 abhängig vom Radius des Zylinders.

Nun kommen wir an den Punkt, an dem du uns erklären musst was ein "optimales Zylinder" sein soll.
Ich nehme einfach mal an, ein Zylinder mit maximalem Volumen.

Jetztb kramst du aus deinem unterstufengedächtnis die Formel für das Volumen eines Zylinders aus:
V=Pi*(r_2)^2*h
ersetzt nun h durch 2* h_2 und h_2 durch die obige Formel.

Dann hast du da eine Formel des Flächeninhalts abhängig alleine von r_2 stehen.

jetzt suchst du wie bei anderen Extremwertproblem auch r_2 so dass V maximal wird.

Kriegst dann nach einiger Rechnung einen oder mehrere Werte für r_2.

Da dir nun wieder einfällt dass r_2 logicherweise zwischen 0 und r liegen muss, fallen dann gleich alle bis auf eine oder keine Lösungen weg.

Was als Lösung übrig blieb, setzt du in V ein und erhälst dein Ergebnis :-D

Falls du irgendwas nicht verstanden hast, frag ruhig.

und mach dir besser eine oder mehrere Skizzen.
Da ist das gleich viel anschaulicher!

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Hallo,

reduziere das Problem auf einen Viertelkreis mit einem Rechteck darin.

Der Viertelkreis hat die Formel: x²+y²=36

Das Rechteck hat die Fläche x*y.

y²=36-x²

y=√(36-x²)

Dann lautet die Ziefunktion f(x)=x*√(36-x²)

f'(x)=√(36-x²)-x²/√(36-x²)

f'(x)=0

x²=36-x²

2x²=36

x²=18

x=√18

Da hast Du den Radius des optimalen Zylinders, der gleichzeitig die halbe Höhe ist. (Wir hatten nur den Viertelkreis untersucht.

Die Höhe ist dann 2*√18, was dem Durchmesser entspricht. Genau dies war auch zu erwarten. Ein Quadrat hat das optimale Verhältnis zwischen Umfang und Fläche, ein Würfel das optimale Verhältnis zwischen Oberfläche und Volumen. Ein Zylinder hat dann das optimale Volumen, wenn der Durchmesser gleich der Höhe ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Geograph
18.01.2016, 13:21

Ich weiß jetzt nicht genau, wo der Fehler ist,
aber Du bekommst als Zylindervolumen
V = 2 * (√18)³ * pi = 480cm³,
bei mir sind es
V = 4,9² * 6,9 * pi = 520cm³

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Siehe Bild

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