Frage von DerTod99, 11

Wie sind Zahlenmengen aufgebaut?

Hallo,

ich hab mich letztens gefragt wie die Zahlenmengen entstanden sind. Dabei hab ich es mir Vorgestellt das jemand ein natürliches Koordinatensystem entwickelt hat. Also im Wertebereich der natürlichen Zahlen. Die kleinste Länge wär also 1. Jetzt war jemand so waghalsig und hat sich vorgestellt was passieren würde wenn er ein natürliche Koordinaten System aus natürlichen Koordinatensystemen zusammensetzt. In dem neuen Koordinatensystem würde also die kleinste Länge 1 aus unendlich vielen Koordinaten bestehen. Könnte ich dieses Koordinatensystem als im Wertebereich der rationalen Zahlen bezeichnen? Und wenn ich das dann nochmal mach also mit den natürlichen Koordinatensystemen in dem natürlichen Koordinatensystemen hätte ich dann relle Zahlen? Wenn es stimmt, könnte ich dann nicht noch größere Mengen aufstellen?(Die komplexen Zahlen will ich hier jetzt nicht betrachten) Wie ist außerdem unser Raum aufgebaut? Nach den natürlichen Zahlen oder doch anderen Zahlenmengen?

Danke für alle antworten.

Antwort
von Physikus137, 6

Am Anfang war der Übergang von den Ordinalzahlen zu den Kardinalzahlen. Das heißt, die Abstraktion von, sagen wir 5 Äpfeln auf die "Fünfheit". (Höhere) Mathematik ist ohne Kardinalzahlen nicht denkbar. 

Es ist - auch wenn wir das heute nicht mehr nachvollziehen können - eine enorme Kulturleistung gewesen, diesen Übergang zu schaffen. 

Es soll in jüngster Vergangenheit Kulturen gegeben haben[1], oder es gibt sie noch immer, die diesen Übergang nicht vollzogen haben. Triebe man Handel mit Personen aus diesem Kulturkreis und wollte - sagen wir für den Preis von drei Säcken Getreide für eine Ziege - vier Ziegen kaufen, würden wir 12 Säcke Getreide hinstellen und drei Ziegen dafür verlangen und uns wundern, dass der Handel nicht eher zustande käme, bis wir jede Ziege einzeln gegen drei Säcke Getreide getauscht hätten. Ich möchte sehr ausdrücklich darauf hinweisen, dass damit in keinster Weise eine mindere geistige Fähigkeit attestiert werden soll oder kann. Alleine das Fehlen der Abstraktion Kardinalzahl macht es völlig unmöglich sozusagen eine Äquivalenzrelation zwischen der Menge "Ziegen" und der Menge "Getreidesäcke" aufzustellen.

Sind die Kardinalzahlen erst einmal erschlossen verfügt man auf natürliche Weise über die Natürlichen Zahlen. 😀

Der Übergang zu ganzen Zahlen und Rationalen Zahlen ist dann nicht mehr schwer. Und schon die alten Griechen wussten, Wurzel(2) keine rationalen Zahlen sein kann.

[1] http://www.amazon.de/Ein-Himmel-voller-Zahlen-mathematischer/dp/3499197421/ref=s...

Antwort
von Noha1981, 9

Hi!

Es gibt eine Reihe, wie du selbst schon sagtest, von verschiedenen Zahlensystemen. Koordinatensysteme haben jedoch erstmal nichts mit Zahlensystemen zu tun!

Im europäischen Raum nutzen wir eigentlich das Dezimalsystem.

Grundlegend hat der Mensch irgendwann mal seine 10 Finger entdeckt, mit denen er zählen lernte und auf dessen Grundlage die natürlichen Zahlen von 1 bis 10 und später von 1 bis n entstanden.

Spätestens mit der Einführung der Division benötigte man jedoch einen anderen Zahlenbereich, da sich z.B. 10 nicht gänzlich durch 3 teilen lässt. Es entstanden so die rationalen Zahlen.

Bezogen auf deine Frage um die Koordinatensysteme, kommt es in der Definition um die Genauigkeit auf den Wertebereich an. Liegt dieser z.B. in den ganzen Zahlen (-n, -n+1,...,-1,0,1,...,n-1,n), kann man im zweidimensionalen einen Punkt genau angeben (z.B. x=(0,1)). Im rationalen Bereich wäre ein solcher Punkt jedoch nicht zwangsläufig eindeutig, da auf Ihm (in hinreichender Nähe) viele andere Punkte liegen.

Ist deine Frage damit beantwortet?

Liebe Grüße

Noha 

Antwort
von iokii, 11

Das die Rationalen Zahlen so ähnlich sind wie N² haut noch ungefähr hin. Aber N³ hat mit den Reelen Zahlen eher wenig zu tun, die sind nämlich überabzählbar.

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