Frage von Philipphenri, 46

Wie sind die Seitenflächen des Hühnerstalls?

Hallo, ich habe da eine Matheaufgabe, die ich nicht lösen kann.

Wer kann mir da evtl. helfen?

Aus einem 40 m langen Zaundraht soll ein Hühnerstall umzäunt werden, der an einer Seite durch eine Mauer begrenzt wird.

a) Wie sind die Seitenflächen zu wählen, damit die Fläche maximal wird??

*meine Frage: Ist das so zu lösen?: 40 : 3 = 13,33 m , und dann 13.33 x 13,33 = 177,8 m2 ??

b) Bearbeite diese Aufgabe fü rden Fall, dass der Zaun alle vier Seiten des Zauns bildet... Hier komme ich nicht weiter....

Wer kann mir helfen?

VIelen DAnk b) Bearbeite

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 13

Hallo,

da eine Seite in Form der Mauer schon vorhanden ist, brauchst Du den Zaun nur noch für drei Seiten, von denen die beiden gegenüberliegenden gleich lang sein müssen (Rechteck).

Eine Formel (Nebenbedingung) lautet also:

2x+y=40

Die Fläche eines Rechtecks berechnet sich aus dem Produkt zweier Seiten, die senkrecht aufeinanderstehen.

A=x*y (soll maximal werden).

Um einen der beiden Unbekanten loszuwerden, benutzt Du die erste Gleichung und löst sie nach y auf:

y=40-2x

40-2x setzt Du nun für y in die andere Gleichung ein:

x*(40-2x)=A(max)

40x-2x²=A(max)

Um den Extremwert herauszufinden, leitest Du diese Gleichung nach x ab und setzt sie auf Null:

40-4x=0

4x=40

x=10

Wenn es sich hierbei wirklich um ein Maximum handelt, muß die zweite Ableitung an der Stelle x=10 negativ sein:

Die zweite Ableitung lautet -4 und die ist überall negativ. Also liegt bei x=10 tatsächlich ein Maximum vor.

Der Zaun besteht also aus zwei Seiten von je 10 m Länge und einer von 20 m Länge.

Das macht 10 m*20 m=200 m² und damit die größte Fläche, die Du in Form eines Rechtecks erhalten kannst.

Rechnest Du dasselbe ohne Mauer, machst Du es im Prinzip genauso, nur daß die Nebenbedingung jetzt nicht 2x+y=40 lautet, sondern:

2x+2y=40 (das kannst Du durch 2 teilen)

x+y=20

y=20-x

In A=x*y einsetzen, nach x ableiten, auf Null setzen, zweite Ableitung prüfen.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 4

Was soll denn das Kritteln? Diese Aufgabe steht in so ziemlich jedem Mathebuch fast als erste Minimaxaufgabe. Sie ist der Standard für ein angewandtes Extremwertproblem.

Der FS hat frei zitiert und nicht den echten Aufgabentext verwendet.
Aber da weiß doch jedeR, was gemeint ist, der auch nur einmal ein paar Extremwerte ausgerechnet hat. Meist steht da etwas von der Länge der Maschendrahtrolle. (Die kauft man im Geschäft nach Metern und nicht nach Quadratmetern. So ist die Praxis eben.)

Und:
für halbkreisförmige Flächen benötigt niemand die Diffenrentialrechnung.

Hauptsache, man begreift, dass man auch A ableiten kann und nicht nur x.

Antwort
von surbahar53, 15

Diese Aufgabe ist mir schon öfter begegnet, Lösung wurde ja bereits genannt. Sie ist ein gutes Beispiel für eine unsaubere Aufgabenstellung.


Da steht nirgends, dass der Zaun ein Rechteck bilden muss, er könnte doch auch ein Dreieck oder Mehreck bilden oder gar einen Kreis ?

Ich bin allerdings zu faul auszurechnen, ob die Fläche dann noch grösser wäre.

Kommentar von DonKing199 ,

richtig, die Anzahl der Eckpfosten wäre zumindest mal ein guter Ansatzpunkt. Aber vielleicht ist die Aufgabe auch nur recht frei hier angegeben. Denn ein Lehrer würde hoffentlich nicht von einer "Seitenfläche" reden, wenn er eine Seitenlänge haben möchte :D

Kommentar von surbahar53 ,

Trifft für einen Kreis zu, aber auch Vielecke haben eine "Seitenfläche"

Kommentar von DonKing199 ,

Eine Fläche? Wie kann eine Eindimensionale Strecke eine Fläche haben? Klar steht hinter der Aufgabe ein Zau mit einer bestimmten höhe, aber für die Rechenaufgabe finde ich keine Fläche ausser der Grundfläche des Rechtecks... oder hab ich nen Denkfehler?

Kommentar von surbahar53 ,

"Wie sind die Seitenflächen zu wählen, damit die Fläche maximal wird?" ... ist meiner Meinung nach falsch abgeschrieben. Es muss wohl "Seitenlängen" heissen.

Aber egal, auch die Verwendung eines Vielecks als Umzäunung widerspricht nach meinem Verständnis nicht der Aufgabenstellung.

Kommentar von DonKing199 ,

Sorry, missverständnis, ich dachte du wolltest mich korrigieren, dass es eben doch "Seitenflächen" an einem Rechteck gäbe. Jetzt bin ich wieder bei dir :)

Kommentar von Willy1729 ,

So gesehen könnte man es auch mal mit einem Halbkreis versuchen. Das gäbe knapp 255 m², wäre also effektiver als ein Rechteck. (Entspricht aber garantiert wieder irgendeiner DIN-Norm nicht).

Kommentar von surbahar53 ,

Warum nur Halbkreis, die Mauer könnte eine beliebige Sehne des Kreises darstellen.

Kommentar von Willy1729 ,

Ich sagte ja: man könnte es versuchen. 

Man kann auch gleich einen Kreis bilden und auf die Mauer pfeifen - das wäre aber Verschwendung.

Die Frage ist, ob der Halbkreis die größtmögliche Fläche darstellt. Ich denke: ja, weil die Mauer dann den größtmöglichen Anteil hat.

Kommentar von surbahar53 ,

Stimmt, der Halbkreis wäre optimal. Wenn der Lehrer auf dem Wort "Seitenfläche" rumreitet, würde ich statt des Kreises ein infinites Vieleck als Lösung vorschlagen ...

Antwort
von ffrancky, 21

Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz. Von welchen Seitenflächen sprichst du? Meinst du die Seitenlängen des Rechteckes?

Kommentar von Philipphenri ,

Ganz genau. Eine Seite ist eine Mauer. Die 3 anderen Seiten ein Zaundraht.

Antwort
von DonKing199, 15

DIe Hauptbedingung ist Größtmögliche Fläche. Also F(a,b)=a*b und davon brauchst du das maximum. Dann hat der Zaun drei Seiten und max 40m länge: also Nebenbedingung 2*a+b=40m

nun die nebenbedingung nach a oder b auflösen, dass dann in der Hauptbedingung einsetzen, dann hast du eine Funktion mit einer Variablen. Hier nun die Ableitung bilden, diese gleich 0 setzen und du hast dein Maximum :)

Rechnen und ableiten darfst du selbst ;) Kannst aber gerne zur Kontrolle nochmal hier rein schreiben.

Aufgabe 2 klappt analog, nur dass es nun eben in der Nebenbedingung 2a+2b=40 heissen muss.


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