Frage von Domino05, 84

Wie setzt man e-Funktionen gleich?

Hallo, Ich bin gerade am lernen fürs Abi und verstehe einfach nicht wie ich diese Funktion: 90-80e^(-0,05t)=10e^(0,038t) gleichsetzen soll. Sie stammt aus der Abi Arbeit von 2014 Vorschlag A1. Leider ist als Ergebnis kein Rechenweg sondern nur das Ergebnis t1=0 t2=56,39 angegeben. Da ich morgen eine Arbeit schreibe würde ich das gern nachvollziehen können.

Antwort
von leiermann, 45

Hallo Domino05,

löse die Gleichung nach dem rechten t auf:

t = ln(9 - 8e^(-0,05t))/0,038

Die Gleichung ist iterativ lösbar. Gibt man t=0 ein, erhält man die erste Lösung. Gibt man t=50 ein, erhält man t=55,82792684. Mit dieser Lösung die Rechnung wiederholen. Nach einigen Iterationen erhält man die gesuchte zweite Lösung.

Gruß von leiermann

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 33

Bei solchen Aufgaben versucht man es zuerst mit t=0

e^0=1 eingesetzt  ergibt 90 - 80 *1 - 10 *1=0 also Treffer !!

Eine Nullstelle bei t=0 Wenn dies nicht funktioniert versucht man es mit Werten zwischen -3 bis 3 und notiert die Ergebnisse.

Ein direkter Lösungsweg ist mir unbekannt.

Für große t-Werte,wird der Ausdrack 80 * e^(-0,05 *t) sehr klein.

Also setzen wir 90 = 10 * e^0,038 *t) ergibt Ln (9) / 0,038 =57,86 

Nun probieren wir welche Werte wir erhalten,wenn wir für t=57 und t=55 einsetzen

90 - 80 * e^(-0,05 *55) - 10 * e^(0,038 *55)=4,03

mit t=57 ergibt 90 - 80 * e^(-0,05*57) - 10*e^(0,038*57)=- 1,86 

Der Vorzeichenwechsel besagt,dass zwischen den Wert t=55 und t=57 eine Nullstelle liegen muss.

Diesen Näherungswert kann man nun mit einen Näherungsverfahren verbessern.

Nach den Tangentenverfahren nach Newton x2=x1 - f(x1)/f´(x1)

Hier ist x1 der Startwert z.Bsp. t=x1=55 Dies ergibt dann einen verbesserten Wert x2,den man wiederum in die Formel einsetzt. Man erhält dann nochmal einen verbesserten Wert x3

Das Verfahren wird dann abgebrochen,wenn die Genauigkeit ausreicht. 

Außerdem gibt es noch das Verfahren nach "Regula falsi"

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