Frage von hilfenoetiga, 15

Wie schreibe ich das folgende Mehrfachintegral in Zylinderkoordinaten?

ich habe das folgende 3-FachIntegral der Funktion f(x,y,z) gegeben:f(x,y,z)= 1/ (1-x^2-y^2+z^2) mit dzdydx. Wobei x=[0,1], y=[0,sqrt(1-x^2)] und z0[0, sqrt(1-x^2-y^2)].Nun soll ich das Integral in Zylinderkoordinaten darstellen. Kann mir jemand helfen die Grenzen aufzustellen?

Antwort
von Ezares, 1

Ich weiß zwar nicht, was du mit Zylinderkoordinaten genau meinst, aber denke mal, dass "Polarkoordinaten" genannt sind.

1. Substitution von x durch sin(a). Als Grenze kann man da z.B. 0 und pi/2 dann nehmen ( sin(0) = 0 und sin(pi/2) = 1)

2. Substitution von y durch cos(b). Du hast die ursprünglichen Grenzen von y als 0 bis sqrt(1-sin^2(a)) = sqrt(cos^2(a)) = cos(a) (wenn cos nichtnegativ ist, wenn du dir den (neuen) Bereich von x anschaust, fällt auf, dass das auch der Fall ist) . Der Bereich von dem neuen y ist also sinnvollerweise [-pi/2,a].

3. Subistution von z durch sqrt(c). Der ursprüngliche Bereich ist [0, sqrt(2)] (einfach nachzurechnen), d.h. wir dürfen die Wurzel ziehen. Der neue Bereich ist dann [0,2].

Insgesamt sollte sich dann als Integrand (sofern ich mich nicht verrechnet habe) Folgendes ergeben:

[-cos(a)sin(b)]/[2*sqrt(c)*(1-sin^2(a)-cos^2(b)+c)]= -[cos(a)sin(b)c^(2/3)]/2

Ich hoffe, dass ich keinen Fehler gemacht habe. Theoretisch müsste man bevor man substituiert die Stetigkeit der Funktion in dem Bereich untersuchen (die Ränder sind egal), da man theoretisch erst die Integrale vertauschen müsste (meiner Meinung nach, könnte mich aber auch aufgrund der Uhrzeit täuschen :D) [siehe Satz von Fubini].

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