Wie schnell sind Elektronen eines Elektronenstrahls?

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3 Antworten

Du kannst nicht newtonsch rechnen, da das Elektron wahrscheinlich viel zu schnell ist, und die Masse sich sehr stark von der Ruhemasse unterscheidet. Wikipedia hat zufälligerweise eine Herleitung zur Lösung genau dieses Problems parat: https://de.wikipedia.org/wiki/Kinetische_Energie#Kinetische_Energie_in_der_relativistischen_Mechanik, direkt das erste "Anwendungsbeispiel".

LG

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Kommentar von SlowPhil
14.08.2016, 11:49

Doch, er kann Newton'sch rechnen, weil er die Elektronen mit gerade mal 54V beschleunigt, nicht etwa mit 54kV.

In dem Fall wäre die kinetische Energie mehr als 10% der Ruheenergie, und da lassen sich (Eₖ/E₀)² = ϵ² - Terme nicht mehr vernachlässigen, ohne einen nennenswerten Fehler zu machen. So wird die Geschwindigkeit geringer ausfallen als Newton'sch gerechnet.

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Kommentar von Roach5
15.08.2016, 18:38

Ja, genau das meine ich doch. Wenn du "informatisch" denkst und die double-Definition verwendest: "Vernachlässigbar ist alles ab der 15. Nachkommastelle", dann rechnet man lieber relativistisch. Hier ein Extrembeispiel, aber man sollte de Fragesteller überlassen, ob er präzise rechnen will oder ob ihm klassische Physik genügt.

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Ne, das ist richtig gerechnet und auch durchaus plausibel ;-)

Hier ist es noch nicht der Fall, aber du musst etwas aufpassen: Falls die kinetische Energie so groß wird, dass die Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit ist, musst du anfangen, relativistisch zu rechnen.

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Kommentar von Roach5
13.08.2016, 19:39

4.000.000 m/s ist schon nicht-vernachlässigbar nah an der Lichtgeschwindigkeit dran, da sollte man lieber schon direkt anfangen, relativistisch zu rechnen.

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Kommentar von lks72
13.08.2016, 20:31

√(1-(4/300)^2) = 0.9999, der Fehler zur Newtonmechanik ist also zu vernachlässigen.

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Du kannst es natürlich eV in J umrechnen und mit der klassischen Formel

(1) Eₖ = ½mv²    ⇔    v = √{2Eₖ/m}

die Geschwindigkeit ausrechnen und Dich über die doch schon ziemliche Geschwindigkeit bei den paar Volt wundern.

Eine Möglichkeit.

Eine andere ist es, mit dem Wissen, dass

(2) E₀ = mc² = 511keV

und damit

(3) Eₖ/E₀ =: ϵ = 5,4×10¹/5,11×10⁵ ≈ 1,06×10⁻⁴

zu erhalten. Der Lorentz-Faktor

(4.1) γ = 1/√{1 – β²}    mit    β = v/c

ist aber zugleich

(4.2) γ = 1 + ϵ.

Dank der Kleinheit von ϵ lässt sich die doppelte Näherung

(5) γ ≈ 1 + ½β²

anwenden, und das ist ja Newtonsche Näherung und ergibt

(6) ½β² = ϵ    ⇔    β = √{2ϵ}, ≈ 1,45×10⁻²c ≈ 4,36×10⁶m/c.

Ohne Näherung erhält man durch Umstellen und Wurzelziehen

(7) β = √{2ϵ + ϵ²}/(1 – ϵ),

aber der Unterschied beläuft sich in absoluten Zahlen gerade mal auf popelige 576m/s. In jedem Fall erübrigt sich das Hin- und Herrechnen zwischen eV und J.

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Kommentar von Bernte
14.08.2016, 09:57

Kleiner Einheitenfehler in (6):

beta = 1,45 %

v = beta c = 4,36x10^6 m/s 

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Kommentar von SlowPhil
14.08.2016, 12:43

Gleichung (7) ist bollocks, da habe ich einen empfindlichen Vorzeichenfehler gemacht. Es muss - natürlich

β = √{2ϵ + ϵ²}/(1 + ϵ)

heißen, damit

ϵ → ∞    ⇔    β → 1

Denn: (4.1) und (4.2):

     1 + ϵ = 1/√{1 – β²}

⇔ 1/(1 + ϵ)² = 1 – β²

⇔ β² = 1 – 1/(1 + ϵ)² = {(1 + ϵ)² – 1}/(1 + ϵ)² = (2ϵ + ϵ²)/(1 + ϵ)²

⇔ β = √{2ϵ + ϵ²}/(1 + ϵ)        q.e.d.

Schließlich muss die Geschwindigkeit, die tatsächlich herauskommt, kleiner sein als beim Newton'schen Rechnen.

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