Frage von LeMark, 97

Wie sähe der ordentliche Lösungsweg richtig aus?

Das folgende Integral ist durch geeignete Substitution und anschließende partielle Integration zu lösen:

∫ 6x^5 * ln(x^3+1) dx

Ich bin etwas verwirrt und komme einfach nicht zur Lösung. Kann sich jemand meiner erbarmen und mir den Lösungsweg aufzeigen?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 46

Hallo,

ziehe zuerst die 6 aus dem Integral heraus und lege sie bis zum Schluß der Rechnung beiseite:

6*∫x^5*ln(x³+1)dx

Du kümmerst Dich nun nur um das Integral, vergißt dabei aber nicht die 6.

Du mußt partiell integrieren, wobei Du x^5 als f' auffaßt und ln(x³+1) als g:

∫f'*g=f*g-∫f*g'

f=(1/6)*x^6

g'=(3x²)/(x³+1)

f*g=(1/6)*x^6*ln(x³+1)

Auch diesen Teil legst Du zunächst beiseite und kümmerst Dich um das Restintegral ∫f*g', das Du am Ende von diesem Teil abziehen mußt.

∫(1/6)*x^6*(3x²)/(x³+1)

Wieder ziehst Du die konstanten Faktoren 1/6 und 3 aus dem Integral heraus. Sie ergeben zusammen 1/2:

(1/2)∫x^6*x²/(x³+1)

Hier kannst Du noch etwas zusammenfassen:

(1/2)∫x^8/(x³+1)dx

Nun mußt Du (x³+1) durch z substituieren:
z=x³+1

dz/dx=3x²

dx=dz/3x²

Die 3 im Nenner ziehst Du wieder aus dem Integral heraus, das ergibt zusammen mit dem Faktor (1/2) von vorhin 1/6:

(1/6)*∫x^8/(x^6*z)=(1/6)*∫x^6/zdz

Da z=x³+1, ist x³=z-1 und x^6=(z-1)²

So erhältst Du das Integral (1/6)*∫(z-1)²/zdz

Bauen wir hier mal mit dem f*g zusammen, erhalten wir:

(1/6)*x^6*ln(x³+1)-(1/6)*∫(z-1)/zdz

Hier wäre eine gute Gelegenheit, die 6, die wir am Anfang zurückgelegt, aber nicht vergessen haben, zu reaktivieren, denn dann verschwinden die beiden (1/6) vor den Summanden des Terms:

x^6*ln(x³+1)-∫(z-1)²/zdz

Nun können wir uns wieder um das Integral kümmern:

Das (z-1)² wird ausmultipliziert zu z²-2z+1 und die einzelnen Summanden durch z geteilt:

Dann bleibt unter dem Integral z-2+1/z übrig, das wir zu (1/2)z²-2z+ln(z) integrieren.

So erhalten wir:

x^6*ln(x³+1)-(1/2)z²+2z-ln(z)

Nun ersetzen wir z wieder durch x³+1 und sind fertig:

x^6*ln(x³+1)-(1/2)(x³+1)²+2(x³+1)-ln(x³+1)+C

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von LeMark ,

Nein, da komme ich nicht mit.

Antwort
von Roach5, 27

Wir lassen die 6 mal weg und kümmern uns um  ∫x^5 ln(x³ + 1)dx.

Die geeignete Substitution ist x³ + 1, die ist offensichtlich und deshalb streben wir sie auch an, aber wie wir vereinfachen ist noch nicht klar.

Wenn wir u = x³ + 1 setzen, haben wir nach Differentiation auf beiden Seiten: du = 3x²dx, also x² dx = 1/3 du.

Wir setzen also ein und bekommen:

= "1/3∫x³ln(u)du". Das ganze in Anführungszeichen, weil wir noch nicht fertig sind, denn wir sind nicht ganz von der "x-Welt" in die "u-Welt" gelangt.

Was noch übrig bleibt im Integral ist aber ein x³, wir wissen aber, dass: x³ + 1 = u, also x³ = u - 1.

Wir bekommen schließlich also:

∫x^5 ln(x³ + 1)dx = 1/3∫(u-1)ln(u)du.

Das solltest du jetzt ohne Probleme hinbekommen, durch partielle Integration. Tip: Die Stammfunktion von ln(u) ist u(ln(u) - 1).

Kontrollergebnis:

∫... = 1/6 x³ - 1/12 x^6 - 1/6 ln(x³ + 1) + 1/6 x^6 ln(x³ + 1) + c,

das ganze noch mit 6 multiplizieren und du hast dein gewünschtes Integral.

LG

Kommentar von Roach5 ,

Bemerkung: Kannst auch ln(u) als die abzuleitende Funktion (bei der partiellen Integration) wählen, funktioniert auch, ich bin mir nicht sicher was einfacher ist.

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 49

Hi,

Da es bereits 00:06 ist, werde ich das jetzt nicht akkurat durch rechnen, sondern lediglich Hinweise zum Lösen geben.

Du hast hier sowohl ein Produkt als auch eine Verkettung. Sagen dir partielle Integration sowie Integration durch Substitution was? Hoffe ich...musst du hier nämlich beides anwenden.

Zunächst führest du die partielle Integration aus. Dann wirst du irgendwelche Terme mit ∫ [ln(x³+1)] erhalten. Nicht wahr?

So, auf diese Terme ist nun die Integration durch Substitution anzuwenden. Wie das geht, erfährst du in deinen Lehrbüchern bzw. im Internet.

Rechnen darfst du selbst. Über deinen Lösungsweg drüber sehen tue ich aber gern. Viel Spaß beim Rechnen! 😉

LG

Kommentar von LeMark ,

Ja, natürlich sagen mir diese Dinge was und eigentlich kann ich sie auch. Schließlich schreibe ich Montag Prüfung. Aber aus irgend einem Grund haut mich der Logarithmus aus der Bahn. Ich bin verwirrt und ein ganzer Lösungsweg wäre wirklich extrem hilfreich.

Kommentar von DieChemikerin ,

Ist es okay, wenn ich dir nachher antworte, wenn ich wieder wach bin? ^^

Am besten schickst du mir eine Freundschaft sanft age, dann vergesse ich das nicht und ich erkläre es dir privat und rechne es einmal vor. Okay? :)

Kommentar von LeMark ,

Ich bin leider neu und unwissend und kann weder anschreiben noch Freundschaftsanfragen versenden.

Kommentar von Volens ,

Das ist ganz einfach.
Du klickst auf die blaue Anzeige "Die Chemikerin" in ihrer Antwort oder ihrem Kommentar. Dann wird ihr Profil gezeigt, und rechts oben steht
Freundschaft anbieten.

Und da klickst du dann drauf.

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