Frage von metalhead998, 41

Wie rechnet man hier T aus?

Hallo,

ein Gewicht mit 10 kg ist an einem 0,80 m langem Draht befestigt. Welche Zeit benötigt die Kugel für einen Umlauf, wenn der Draht während der Bewegung um alpha = 60° gegenüber der Drehachse ausgelenkt ist? Ich habe mit Sinus von 60° gleich Radius geteilt durch die 0,8 m herausbekommen, dass dieser 0,7 m beträgt. Aber wie komme auch auf T? So wie ich das sehe, brauche ich ja die Zentrifugalkraft, aber da brauche ich die Winkelgeschwindigkeit. Wie bekomme ich diese? Die kann ich ja so nicht einfach berechnen, oder?

Vielen Dank im Voraus.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 6

Hallo,

eine Zentrifugalkraft gibt es nicht - sie ist lediglich eine Scheinkraft.

Die beiden Kräfte, die auf die Kugel wirken, sind einmal die Schwerkraft Fg, die in Richtung Erdmittelpunkt wirkt; und dann die Zugkraft Fz am Draht entlang, die in zwei Komponenten unterteilt werden muß: in die vertikale, also Fz*cos (Alpha) und die horizontale: Fz*sin (Alpha).

Da die Kugel auf ihrer Kreisbahn ihre horizontale Ebene nicht verläßt, ist diese vertikale Komponente genauso groß wie die Schwerkraft, so daß Du schon einmal eine Gleichung aufstellen kannst:

Fz*cos (Alpha)=m*g (g ist die Schwerebeschleunigung von 9,81 m/s² und ich erkläre dies so ausführlich, weil sich vielleicht auch andere für diese Frage interessieren und nicht Deine Kenntnisse besitzen).

Die Kugel wird also mit einer Kraft von 10 kg*9,81 m/s² nach unten gezogen - mit derselben Kraft wirkt die vertikale Zugkraft am Draht dagegen, so daß die Kugel während der Rotation ihre Höhe über dem Boden beibehält.

Dann gibt es eine Beschleunigung nach innen (also eine Zentripetalkraft, die über den Draht auf die Kugel ausgeübt wird und sie daran hindert, ihre Kreisbahn tangential zu verlassen. Diese Beschleunigung in Richtung Zentrum wird über m*v²/r berechnet. Sie entspricht der horizontalen Komponente der Zugkraft Fz*sin (Alpha)

Hier haben wir nun eine zweite Gleichung: Fz*sin (Alpha)=m*v²/r.

Da in beiden Gleichungen Fz auftaucht, können wir sie gleichsetzen, indem sie jeweils nach Fz aufgelöst werden:

Fz=mg/cos (Alpha)=m*v²/(r*sin (Alpha)).

Wenn wir nun noch durch m kürzen, steht da (Fz können wir getrost eliminieren):

g/cos (Alpha)=v²/(r*sin (Alpha)).

r ist dabei über die Drahtlänge 0,80 m und den Winkel Alpha zu berechnen:

r=0,8*sin (60°)=0,69 cm (gerundet).

Wenn Du diese Gleichung nach v auflöst, bekommst Du
v=√[g*r*sin (Alpha)]/cos (Alpha).

Nun noch die Werte einsetzen: r=0,69 cm, Alpha=60°, g=9,81 m/s²:

v=√{[9,81 m/s²*0,69 m*sin (60)]/cos (60)}=3,42 m/s (gerundet).

Da der Kreis, den die Kugel beschreibt, einen Umfang von 2*π*r, also 4,34 m besitzt, dauert ein Umlauf 4,34 m/( 3,42 m/s)=1,27 s, womit T berechnet wäre.

Die Masse der Kugel spielt hierbei übrigens keine Rolle: Du hast ja gesehen, daß sich m aus beiden Gleichungen wegkürzt.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Physik, 20

Versuch's mal umgekehrt:

Aus der Winkelgeschwindigkeit berechnest du die Periode.

Die Winkelgeschwindigkeit berechnest du aus der Zentrifugalkraft.

Die Zentrifugalkraft berechnest du aus dem Kräfteparallelogramm: Gesamtkraft in Richtung des Drahtes, Gewichtskraft nach unten (axial), Zentrifugalkraft radial nach außen

Antwort
von Halswirbelstrom, 10

T = 2 · π · ω

ω = √ (g · tan 60° / r)

r = 0,8m · sin 60°

→ T ≈ 1,27s

Gruß, H.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community