Frage von HeyVanilla, 13

Wie rechnet man bei Funktionen des 4. Grades die Extrempunkte?

Hey! :) Ich sitze gerade an einer Aufgabe an der ich mir den Kopf zerbreche und komme einfach nicht weiter. Die Funktion lautet f(x)=ax^2+bx^4, dazu habe ich gegeben, dass a < 0 und b > 0 ist. Die erste Ableitung ist f'(x)=2ax+4bx^3. Diese Funktion muss ich 0 auf Null setzen, um die Extremwerte auszurechnen. Durch die zwei Variablen a und b kann mir leider nicht mal mein Taschenrechner ausrechnen welche x Werte es sind und wie man diese ausrechnet. Ein x wert ist 0, das weiß ich, aber ich weiß leider nicht, wie ich die anderen ausrechnen kann. Wäre super, wenn mir jemand helfen kann! Danke schon mal im voraus. :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Enders9, 6

f'(x)=2ax+4bx^3 = 0

Hier kann man x ausklammern:

f'(x) = x * (2a + 4bx^2) = 0

Auf diese Gleichung kann man jetzt den "Satz vom Nullprodukt" anwenden. Denn das Produkt zweier Zahlen ist dann Null, wenn eine der beiden Zahlen Null ist.

Man erhält dann:

x = 0   oder   2a + 4bx^2 = 0

Die linke Gleichung ist die erste Lösung. Die anderen erhält man durchs auflösen der rechten Gleichung nach x.

Unbeding merken. Nullstellenberechnung durch Ausklammern und dem "Satz vom Nullprodukt" ist relativ häufig.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 13

Hallo,

hier brauchst Du nur x² auszuklammern, um die Nullstellen zu berechnen:

f(x)=x²*(a+bx²)

Eine (doppelte) Nullstelle liegt dann bei x=0, die beiden anderen sind die Lösung der Gleichung
a+bx²=0

bx²=-a

x²=-a/b

Da a<0 und b>0, ist -a/b auf jeden Fall positiv und Du hast zwei Nullstellen. Welche das sind, hängt davon ab, was Du für a und b einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Katrin123456xyz, 13

Ganz einfach. Das erste x aus der abgeleiteten Funktion klammerst du aus ( was du schon gemacht hast :). Dann steht nur noch eine Funktion 2 Grades dort. Einfach mit der pq-Formel auflösen. Am Ende hast du dann 3 Nullstellen. Einmal x=0 ( für das ausgeklammerte x) und dann noch zwei höchstwahrscheinlich (außer du hast eine doppelte Nullstelle)

Kommentar von HeyVanilla ,

Das hilft mir wirklich weiter, danke! :) 

Antwort
von Adamantan, 13

In
f'(x)=2ax+4bx^3
kannst Du x Ausklammern. Dann ist x = 0 die erste Nullstelle. Der Teil in der Klammer ist quadratisch --> Mitternachtsformel

Alles klar?

Kommentar von HeyVanilla ,

Dankeschön! :)

Kommentar von Adamantan ,

Gerne

Antwort
von FelixFoxx, 4

f(x)=ax²+bx^4

f'(x)=2ax+4bx³=2x(a+2bx²)

2x=0 oder a+2bx²=0

x=0 oder x²=-a/(2b)

da a<0 und b>0, ist -a/(2b)>0, also kann man die Wurzel ziehen

f"(x)= 2a+12bx²

f"(0)=2a ist ungleich 0 (kleiner Null, da a<0)

f"(+/-Wurzel(-a/(2b))=2a-6a=-4a ist auch ungleich Null (größer Null, da a<0)

Es gibt also ein Maximum bei x=0 und Minima bei x=+/-Wurzel(-a/(2b)).

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