Frage von niwe9792, 14

Wie rechne ich einen Radius für ein Teilvolumen eines Kegelstumpfes aus?

Habe eine Aufgabe in Mathe, wo ich ein Teilvolumen aus einem Kegelstumpf berechnen muss. Allerdings weiß ich nicht, wie ich auf den gesuchten radius komme, der durch den Teilschnitt entsteht. Mit Strahlensätze etc kam ich irgendwie nicht weiter, weil es nirgendwo so erklärt war, wo ich anschließend wusste, wie ich es auf meine projizieren kann :( Auch wenn ich die Volumenformel umgestellt habe, kam nur Käse raus.

Kann mir das einer genauer erklären?

Die Aufgabe lautet so:

Ein 30m hoher Fabrikschornstein hat die Form eines Kegelstumpf von 3 m oberem und 4,2 unterem äußerem Durchmesser. Das Mauerwerk ist für die unteren steigenden 10m 49 cm dick, für die mittleren 10m 36 cm dick und für die obersten 10m 24 cm dick mit Absätzen nach innen gelegt.

Wie viel Kubikmeter Mauerwerk hat der Schornstein?

Ich wollte für die 3 Absätze jeweils das Teilvolumen mit Mauerwerk berechnen, dann jeweils ohne, um das zu subtrahieren , damit ich das genauer Volumen an Mauerstein für den Absatz herausbekomme. Aber keine Ahnung, wie ich die oberen Radien für den jeweiligen Absatz herausbekomme.

Danke schonmal! Liebe Grüße

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 14

Nennen wir den unteren äußeren Radius des kegelstumpfförmigen Schornsteins mal groß R und den oberen äußeren Radius mal klein r.

Die Höhe nennen wir h

Wenn man den kegelstumpfförmigen Schornstein exakt von der Seite betrachten könnte, und aufschneiden könnte, dann wäre das Seitenprofil / Seitenansicht ein gleichschenkliges Trapez.

Dem unteren Seitenmittelpunkt geben wir die kartesischen Koordinaten (0|0)

Dann hat der linke untere Seitenpunkt des Trapezes die Koordinaten (-R / 2|0).

Der rechte untere Seitenpunkt des Trapezes hat die Koordinaten (+R / 2| 0).

Der linke obere Seitenpunkt des Trapezes hat die Koordinaten (-r / 2| h).

Der rechte obere Seitenpunkt des Trapezes hat die Koordinaten (+r / 2 | h).

Den linken Schenkel des Trapezes kann man als Gerade betrachten.

Geradengleichung -->

y = m * x + b

m = (y _ 2 - y _ 1) / (x _ 2 - x _ 1)

b = y _ 1 - m * x _ 1

h = 30

r = 3

R = 4.2

m = (h - 0) / ((-r / 2) - (-R / 2))

b = -m * (-R / 2)

m = 30 / ((-3 / 2) - (-4.2 / 2))

m = 30 / (0.6) = 50

b = -50 * (-4.2 / 2) = 105

y = 50 * x + 105

y = h / ((-r / 2) - (-R / 2)) * (x + R / 2)

Nach x auflösen -->

x = y / (h / ((-r / 2) - (-R / 2))) - R / 2

Weil das ganze im negativen Teil des Koordinatensystems liegt noch mit -1 multiplizieren -->

x = R / 2 - y / (h / ((-r / 2) - (-R / 2)))

x = Radius in der  Höhe y

y = Höhe

Damit haben wir eine Formel gefunden, mit der man berechnen kann welchen Radius x ein Kegelstumpf in Abhängigkeit von der Höhe y hat.

Durchmesser = Radius * 2

y = 0 ist unten am Boden und y = h ist am oberen Ende !

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Wertetabelle -->

y = 0 --> x = 2.1, Durchmesser = 4.2

y = 10 --> x = 1.9, Durchmesser = 3.8

y = 20 --> x = 1.7, Durchmesser = 3.4

y = 30 --> x = 1.5, Durchmesser = 3.0

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Volumen des Kegelstumpfes -->

V = (h * pi) / 3 * (R ^ 2 + r * R + r ^ 2)

1. Segment -->

h = 10

R = 4.2

r = 3.8

V _ 1 = 503.074 m ^ 3

Das Mauerwerk ist für die unteren steigenden 10m 49 cm dick.

Das bedeutet -->

h = 10

R _ M = 3.71

r _ M = 3.31

V _ M_ 1 = 387.466 m ^ 3

T _ 1 = V _ 1 - V _  M _ 1 = 115.608 m ^ 3

Der Index M soll hier für Mauerwerk stehen.

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2. Segment -->

h = 10

R = 3.8

r = 3.4

V _ 2 = 407.569 m ^ 3

Das Mauerwerk ist für die mittleren steigenden 10m 36 cm dick.

Das bedeutet -->

h = 10

R = 3.44

r = 3.04

V _ M _ 2 = 330.211 m ^ 3

T _ 2 = V _ 2 - V _ M _ 2 = 77.358 m ^ 3

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3. Segment -->

h = 10

R = 3.4

r = 3.0

V _ 3 = 322.118 m ^ 3

Das Mauerwerk ist für die obersten steigenden 10m 24 cm dick.

h = 10

R = 3.16

r = 2.76

V _ M _ 3 = 275.673 m ^ 3

T _ 3 = V _ 3 - V _ M _ 3 = 46.445 m ^ 3

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Alle T _ Index addieren -->

T _ 1 + T _ 2 + T _ 3 = 115.608 m ^ 3 + 77.358 m ^ 3 + 46.445 m ^ 3 = 239.411 m ^ 3

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Das Mauerwerk nimmt ein Volumen von 239.411 m ^ 3 ein.

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Abschlussworte -->

Es ist sehr gut möglich, dass ich entweder einen Gedankenfehler, oder einen Formelfehler oder einen Rechenfehler gemacht habe, deshalb ist es deine Aufgabe alles noch mal selber zu prüfen und auf seine Richtigkeit zu überprüfen ;-))

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