Frage von FragexxoAntwort, 20

Wie rechne ich diese Polynomdivision?

Ich verstehe die Polynomdivisionen grundsätzlich, bis auf diese hier. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Dies war gegeben: f(x)=x^3 - x^2 - 22x + 40

  1. Was ich getan habe 
  2. (x^3- x^2 - 22x + 40) : (x-1) 
  3. -(x^3) - x^2)
  4. ----------------- 
  5. -0x^2 - 22x 
  6. -(-0x^2 + 0 x)
  7.  ----------------- 
  8. -22x+40 
  9. -22x+22 
  10. ----------------------- 
  11. 18 [FALSCH]

Wo habe ich was falsch gerechnet?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Hallo,

glatt geht die Sache nur auf, wenn Du durch x-Nullstelle teilst.

f(x)=x³-x²-22x+40 wird nicht Null, wenn Du für x eine 1 einsetzt:

1-1-22+40=18

Wenn Du also durch (x-1) teilst, geht das nicht ohne Rest.

Du mußt zunächst eine der Nullstellen finden. Wenn es ganzzahlige Nullstellen gibt, sind sie eine der Teiler von 40.

Ich habe -5 gefunden:

(-5)³-(-5)²-22*(-5)+40=-125-25+110+40=0

Du teilst also durch (x+5)

(x³-x²-22x+40):(x+5)=x²-6x+8
-(x³+5x²)
       -6x²-22x
     -(-6x²-30x)
               8x+40
            -(8x+40)
                         0

Die beiden anderen Nullstellen liegen dann bei x=2 und x=4, denn (-2)*(-4)=8 und -2-4=-6, Du kannst das Restpolynom x²-6x+8 also als (x-2)*(x-4) schreiben.

Ansonsten nimmst Du die pq-Formel.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von poseidon42, 11

Sei gegeben:

f(x)=x^3 - x^2 - 22x + 40

Wir wollen alles nacher durch (x - 1) teilen, daher schreiben wir f geeignet um:

x^3 - x^2 - 22x + 40 = (x - 1)*x² + x² - x² - 22x + 40

= (x - 1)x² - 22x + 40 = (x - 1)x² - 22(x - 1) - 22 + 40

= (x - 1)x² - 22(x - 1) + 18

Demnach folgt also:

(x^3 - x^2 - 22x + 40)/(x - 1) = [(x - 1)x² - 22(x - 1) + 18]/(x - 1)

= x² - 22 + 18/(x - 1)

Somit hattest du schon das richtige Ergebnis raus.

Hier wird es nochmal bestätigt (siehe Link):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E3+-+x%5E2+-+22x+%2B+40)%2F(x+-+1)+%3D

(Schau dabei einfach unter "alternate forms", dort gibt es dann auch die Darstellung mit Rest)

Kommentar von poseidon42 ,

Das Problem kommt daher, dass x = 1 keine Nullstelle von der Funktion f ist.

Siehe für die Nullestellen folgenden Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3+-+x%5E2+-+22x+%2B+40+%3D+0

(Unter der Rubrik "solutions" )

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 2

Nullstellen bei x1= -5 und x2=2 und x3=4

Linearfaktor (x - (-5))=(x +5) abspalten "Polynomdivision"

(x^3 -x^2 - 22*x + 40) :(x+5)=x^2 - 6 *x + 8

(x+5) * x^2=x^3+5*x

(x^3 - x^2) - (x^3 +5*x= - 6 x

(x+5) *- 6x= -6x^2-30*x

(- 6*x^2 - 22*x) - (-6*x^2 - 30)=8*x

(x+5) * 8= 8*x + 40

(8*x+40) - (8*x +40)= 0

Hinweis : x=-1 ist keine Nst !

Antwort
von ByteJunkey, 13

Ich denke, wenn du das Video verinnerlicht hast, dann findest du den Fehler ganz schnell ;)

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