Frage von kyrage, 45

Wie rechne ich diese Funktion?

Kurvendiskussion

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 5

f(x) = x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 8 * x

Ableitungen berechnen -->

f´(x) = 3 * x ^ 2 - 12 * x + 8

f´´(x) = 6 * x - 12

f´´´(x) = 6

Nullstellen von f(x) berechnen -->

Du klammerst erst mal ein x aus :

x * (x ^ 2 - 6 * x + 8) = 0

Weil irgend etwas mit Null multipliziert wieder Null ergibt,deshalb ist der gesamte Ausdruck Null, wenn einer der Terme Null ist, deshalb ist eine Nullstelle bei x = 0, also x _ 3 = 0

Nun musst du noch die Nullstellen von dem anderen Term berechnen -->

x ^ 2 - 6 * x + 8 = 0

Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -6

q = 8

p / 2 = -3

(p / 2) ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9

x _ 1, 2 = - (-3) - / + √(9 – 8)

x _ 1, 2 = 3 - / + √(1)

x _ 1, 2 = 3  - / + 1

x _ 1 = 2

x _ 2 = 4

Nun holen wir noch die Nullstelle herbei, die wir schon kannten -->

x _ 3 = 0

Extremwerte sind die Nullstellen der 1-ten Ableitung f´(x), deshalb rechnen wir die jetzt aus -->

3 * x ^ 2 - 12 * x + 8 = 0 | : 3

x ^ 2 - 4 * x + (8 / 3) = 0

Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -4

q = (8 / 3)

p / 2 = -2

(p / 2) ^ 2 = (-2) ^ 2 = 4

x _ 1, 2 = - (-2) - / + √(4 – 8 / 3)

x _ 1, 2 = 2 - / + √(12 / 3 – 8 / 3)

x _ 1, 2 = 2 - / + √(4 / 3)

x _ 1, 2 = 2 - / + 2 / √(3)

x _ 1 = 2 - 2 / √(3) = 0.84529946162

x _ 2 = 2 + 2 / √(3) = 3.154700538379

Das sind aber noch keine Extremwertpunkte, da ein Punkt immer aus einer x-Komponente und aus einer y-Komponente besteht, deshalb musst du jetzt die x -Werte in f(x) einsetzen -->

f(x) = x ^ 3 - 6 * x ^ 2 + 8 * x

f(2 - 2 / √(3)) = (2 - 2 / √(3)) ^ 3 - 6 * (2 - 2 / √(3)) ^ 2 + 8 * (2 - 2 / √(3)) = 3.079201435678

f(2 + 2 / √(3)) = (2 + 2 / √(3)) ^ 3 - 6 * (2 + 2 / √(3)) ^ 2 + 8 * (2 + 2 / √(3)) = -3.079201435678

Die Extremwertpunkte sind auf 3 Stellen nach dem Komma gerundet also -->

(0.8453 | 3.0792) und (3.1547 | - 3.0792)

Damit weißt du jetzt zwar die Extremwertpunkte, aber ob es sich um einen Tiefpunkt (Minimum) oder um einen Hochpunkt (Maximum), das weißt du immer noch nicht, deshalb musst du die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die 2-te Ableitung einsetzen -->

f´´(2 - 2 / √(3)) = 6 * (2 - 2 / √(3)) - 12 = - 4 * √(3)

Weil das < 0 ist, deshalb ist das ein Maximum

f´´(2 + 2 / √(3)) = 6 * (2 + 2 / √(3)) - 12 = 4 * √(3)

Weil das > 0 ist, deshalb ist das ein Minimum

Der Punkt (0.8453 | 3.0792) ist also ein Maximum und der Punkt (3.1547 | - 3.0792) ist ein Minimum

Was du mit einer Polynomdivision willst, das verstehe ich nicht.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 20

Warum Polynomdivision?

Normiere die erste Ableitung (eliminiere den Faktor vor x²) und wende die P/Q-Formel an.

Kommentar von kyrage ,

Aber dann ist die Funktion doch nicht mehr null gesetzt wenn ich : 3 rechne...

Kommentar von MeRoXas ,

0:3 ist 0.

Du hast 0 Kuchen, welche du auf 3 Freunde aufteilst.

Wie viel von den Kuchen kriegt jeder?

Richtig, 0, es gibt keine Kuchen.

Kommentar von MeRoXas ,

Die Nullstellen sind übrigens falsch. In der P/Q Formel hast du für q 6 genommen, da muss aber 8 hin

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