Frage von TrOnnn, 20

Wie rechne ich die 3te Seitenlänge aus in einem nicht rechteckigen Dreieck mit 2 gegebenen Seitenlängen + 1 Winkel(aber nicht der zwischen den 2 geg. Seiten)?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 9

Nimm den Kosinussatz.

Wenn du z. B. die Seiten a und b sowie den Winkel α gegeben hast, gilt:

a² = b² + c² - 2 b c sin(α)

Das kannst du nach der fehlenden Seite c auflösen.

Dass die quadratische Gleichung zwei verschiedene oder auch gar keine Lösung haben kann, ist richtig. Vielleicht erinnerst du dich noch an die Skizzen zum Aufgabentyp SSW zur Konstruktion von Dreiecken mit Zirkel und Lineal?

Antwort
von BigSis, 13

Keine Panik. Ich habe gerade mein altes Matheheft aufgeschlagen und hoffe, es ist richtig, also hier die Anleitung (Du brauchst einen Zirkel, ein Geodreieck und ein kariertes Blatt):

Okay. Am besten malst du zuerst eine Skizze von dem Dreieck. Ich hab's früher immer so gemacht, dass Punkt A die obere Ecke ist, Punkt B dann links und Punkt C rechts unten. (Achte nicht darauf, welche Form das Dreieck am Ende haben soll. Zeichne einfach eine stinknormales Pyramide) Dann fahre den Winkel und die Seiten, die du weißt mit einem farbigen Stift nach. Das verschafft dir zuerst mal einen Überblick und erspart dir Denkarbeit und spätere Fehler (mein Mathelehrer hat früher immer jeden angemotzt, der es nicht gemacht hat, also hat es wohl wirklich seinen Zweck)

Nehmen wir mal an, du kennst jetzt die Seitenlängen AC und BC und den Winkel ß (beta ist der direkte, zugehörige Winkel zu Punkt B, also der Winkel zwischen Seitenlänge AB und BC). Zeichne die Seitenlänge mit dem Winkel, den du schon kennst, als Grundseite des (noch nicht existierenden) Dreiecks auf ein kariertes Blatt (Achte darauf, dass darüber noch für die kommenden Linien Platz ist!). In meinem oben angegebenen Beispiel, wäre die Grundseite die Seitenlänge BC und der Winkel ß. Miss den Winkel ß mit einem Geodreieck ab und zeichne die Linie, die daraus resultiert.

(Dein Zwischenstand sollte jetzt sein, dass du zwar den Winkel weißt, den die Seitenlänge BA einmal haben soll, aber noch nicht, wie lange sie ist. Seitenlänge AC sollte auch noch nicht vorhanden sein. Wenn es bei dir schon jetzt irgendwie anders aussieht, ist wahrscheinlich irgendetwas schief gelaufen)

Was kommt als nächstes? Hockst du schon nägelknabbernd in deinem Zimmer vor dem Computer und wartest darauf? Gut! Die Länge AC ist schon von Anfang an vorgegeben und rettet dir somit den Hintern. Nimm einen Zirkel, stelle den Radius mithilfe eines Lineals auf die vorgegebene Seitenlänge AC ein und setze (in meinem Bsp.) bei Punkt C an. Jetzt zeichnest du einen schööönen Kreis und achtest darauf, wo sich die Linien von diesem Kreis mit denen von der Seitenlänge AB schneiden.

Lösungsmöglichkeiten:

(1) Sie schneiden sich nicht, also gibt es keine  Lösung => kein Dreieck, das mit diesen Vorgaben existiert.

(2) Sie berühren sich an einer Stelle. Glückwunsch! Dann gibt es eine Lösung => ein Dreieck, das mit diesen Angaben existieren kann. Kennzeichne in diesem Fall den Schnittpunkt mit einem Kreuz und ziehe die Seitenlänge AC mit einem Lineal zum Schnittpunkt.

(3) Es gibt zwei Schnittpunkte?! YAY! Zwei Dreiecke, die mit diesen Angaben existieren können. Kennzeichne in dem Fall einfach beide Schnittpunkte und zeichne zwei Versionen von der Seitenlänge AC.

Hoffe ich konnte helfen, auch wenn ich so lange gebraucht habe!

Antwort
von triopasi, 20

Winkelfunktionen. Brauchst nur eine Seite und einen Winkel.

Kommentar von UlrichNagel ,

Winkelfunktionen gelten hier nicht!

Antwort
von iokii, 14

Mit dem Sinussatz.

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