Frage von sabine1121, 77

Wie prüfe ich, dass drei Vektoren ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen?

Hallo miteinander,

Ich bin immer noch am Thema der linearen Abbildungen und eigentlich am Lösen einer Aufgabe zur räumlichen Drehung einer Matrix. Dies hat (soweit ich es beurteilen kann) auch geklappt, nur der erste Teil der Aufgabe stellt für mich ein Problem dar.

Da soll man nämlich beweisen, dass die Vektoren

v1= (1,0,0), v2= (0, cosβ, -sinβ) und v3 = (0, sinβ, cosβ) ein rechtwinkliges Koordinatensystem aufspannen.

Ich nehme an, dies sollte eigentlich der einfache Teil der Aufgabe sein - aber da wir das bis jetzt noch nie so gemacht haben und ich auch in meinem Skript keinen Anhaltspunkt finde komme ich leider nicht weiter.

Könnte mir dabei jemand helfen? Vor allem um Hilfe zu diesem konkreten Beispiel wäre ich sehr dankbar, damit ich in Zukunft weiss, wie es geht :)

Besten Dank im Voraus für die Hilfe!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von poseidon42, 47

Für 2 rechtwinklige Vektoren v und u gilt:

<v,u> = 0    [ < arg1 , arg2 > entspricht dem standard Skalarprodukt ]

Das Skalarprodukt ist nämlich alternativ wie folgt definiert:

<v, u> = cos(phi)*IIvII*IIuII

(II arg II enstspricht der euklidischen Norm, 2er Norm)

wobei Phi der Winkel zwischen den Vektoren v und u ist

Daraus folgt für einen Winkel von Phi = 90° --- >   < v, u > = 0

Also ist die Orthogonalitätsbedingung für 2 Vektoren u und v, wie oben schon erwähnt:  <u, v> = 0

In deinem Fall mit v1, v2, v3 gilt es also jetzt zu zeigen:

1.)  < v1, v2> = 0 ,   2.)  <v1, v3> = 0     ,  3.)  < v2, v3> = 0  4.)  <v2, v1> = 0

1.) v1 ist orthogonal zu v2

2.) v1 ist orthogonal zu v3

3.) v2 ist orthogonal zu v3

4.) v2 ist orthogonal zu v1

Wenn du dies ausprobierst, so ist dies auch der Fall.

Kommentar von sabine1121 ,

Danke vielmals, das hat mir wirklich sehr geholfen!

Antwort
von Roach5, 32

Nach was du suchst ist eine Orthogonalbasis.

Das bedeutet erstens, dass die Menge {v1, v2, v3} eine Basis ist, du spannst also den kompletten R³ auf. Das sollte hier wohl nach Hingucken gegeben sein, da v1 die x1-Koordinate aufspannt und v2 und v3 linear unabhängig in der x2-x3-Ebene sind.

Dazu soll diese Basis orthogonal sein, das bedeutet, dass alle Vektoren einen rechten Winkel zueinander haben, also dass das Skalarprodukt immer 0 ist.

v1 . v2 = 1 * 0 + 0 Cos(x) - 0 Sin(x) = 0,

v1 . v3 = 1 * 0 + 0 Sin(x) + 0 Cos(x) = 0,

v2 . v3 = 0 + Sin(x)Cos(x) - Sin(x)Cos(x) = 0,

also ist eine Orthogonalbasis gegeben.

Noch mehr, wir haben sogar eine Orthonormalbasis, alle Vektoren haben also Länge 1 (bedenke, dass Cos(x)² + Sin(x)² = 1). Das bedeutet, dass die Längenmessung in diesen Koordinaten auch die selbe ist wie in den kanonischen Koordinaten des R³, was sich manchmal als sehr nützlich erweisen kann.

LG

Kommentar von sabine1121 ,

Herzlichen Dank für deine Hilfe, das ist ja viel einfacher als ich dachte :) 

Antwort
von iokii, 32

Wenn du sie Nebeneinander (oder auch übereinander) in eine Matrix schreibst, hat die vollen Rang (also Kern={0}).

Edit : Det!=0 ist in diesem Fall wohl eine bessere Möglichkeit den vollen Rang zu zeigen.

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